Lógica intuitiva detrás de este hermoso resultado del tiempo sucesivo de colisiones de dos cuerpos

Question

INPhO 2017 Problema 3

Dos bloques idénticos a y B, cada uno de masa $M$ se colocan en un largo plano inclinado (el ángulo de inclinación = $\theta$) con Un alto de B. Los coeficientes de fricción entre el plano y el bloque a y B son, respectivamente,$\mu_A$$\mu_B$$\tan\theta > \mu_B > \mu_A$. Los dos bloques inicialmente se mantiene fijo a una distancia $d$ aparte. En $t = 0$, los dos bloques se suelta desde el reposo.

Considerar cada colisión de ser elástico. Encontrar los instantes de tiempo de primer, segundo y tercer choque de los bloques.

Mi consulta:

Si usted nota cuidadosamente, las sucesivas relación de los tiempos de colisión en esta situación tan compleja es una hermosa $1:3:5:7:...$ Esto parece sospechosamente similar a la de Galileo de la Ley de la Caída, sino que es la relación de los sucesivos distancias de un solo cuerpo, no para los tiempos de las colisiones de dos cuerpos.

He sido capaz de derivar correctamente este resultado por el largo y aburrido paso a paso los cálculos. No quiero que como una respuesta. En lugar de eso, quiero una explicación intuitiva (sin mucho cálculo) para la relación observada entre. Gracias!

Answer 1

La ecuación dando a la posición de cada bloque es

$$x=x_0 + v_0 t + a t^2 $$

con $a$, la aceleración, depende de la fricción. La distancia entre los bloques es dado por $\Delta x=x_A - x_B$. Si usted escriba una expresión para $\Delta x$, usted encontrará que tiene la misma forma que la ecuación de $x$, pero con diferentes valores para las constantes. Esto indica que a medida que los bloques no se tocan, la distancia entre los bloques se comporta como la posición de un solo bloque.

Entonces, tenemos que ver lo que sucede cuando los bloques se chocan. Porque tienen la misma masa, después de la colisión, el bloque a se asume que la velocidad del bloque B, y viceversa. La diferencia de velocidad en $\Delta v = \frac{d\Delta x}{dt}=v_A-v_B$ va a invertir su signo tras la colisión. Esto es también lo que sucede con la velocidad de un solo bloque cuando se salta de una pared sólida.

Por lo tanto, la distancia entre los dos bloques se comporta exactamente como la posición de un solo bloque. Como usted ya calculado.

Answer 2

Las ideas clave son :

1. Debido a que los bloques tienen la misma masa y chocan elásticamente, sus velocidades son activados por cada colisión.

2. Ambos bloques están siempre en movimiento hacia abajo por la pendiente. Al final el bloque no se mueve por la pendiente.

3. La dirección y la magnitud de la fuerza de fricción es constante para cada bloque, como es el componente de peso. Así que entre las colisiones de cada bloque se mueve con una aceleración constante hacia abajo por la pendiente, a un ritmo diferente para cada uno.

4. Entre las colisiones de los dos bloques de cubrir la misma distancia en el mismo tiempo, y por lo tanto tienen la misma velocidad media.

Los movimientos de los bloques puede ser visualizado en una velocidad-tiempo gráfico :

La vertical de líneas grises representan los tiempos de sucesivas colisiones. Entre ellos las áreas debajo de los gráficos para Un (rojo) y B (azul) son iguales. Esta área es la distancia recorrida entre colisiones.

Los bloques comienzan con la misma (cero) de la velocidad. La hora a la 1 de la colisión es $T$. El tiempo entre colisiones posteriores es $2T$. La gráfica se repite con un intervalo de tiempo constante de $2T$, después del cambio hacia los lados y hacia arriba. Esta transformación aumenta el área debajo de cada gráfico por la misma cantidad cada vez.

El gráfico muestra que el tiempo entre colisiones es constante, y que las distancias entre las colisiones aumentan en una cantidad constante cada vez. Desde el punto de partida, los tiempos de las colisiones que se dan en $T, 3T, 5T, 7T$ etc.

La línea verde representa el movimiento del centro de masa, lo que coincide con los dos bloques en los puntos de colisión. Se mueve con el promedio de $a$ de las dos aceleraciones, la cual es constante : $$a=g[\sin\theta-\frac12(\mu_A+\mu_B)\cos\theta]$$ suponiendo que $\tan\theta>\mu_B>\mu_A$. La gráfica se desplaza hacia arriba por $2Ta$ entre colisiones, por lo que la distancia entre colisiones aumenta por $4T^2a$ cada vez.

De acuerdo con Galileo de la Ley, las distancias recorridas en los sucesivos intervalos de la misma duración están en progresión aritmética.

$T$ está relacionado con $d$, la diferencia en las distancias movido por cada uno de los bloques desde el inicio hasta el 1 de colisión, por $$d = \frac12(a_A-a_B)T^2 = \frac12(\mu_B-\mu_A)gT^2\cos\theta$$