¿Los gráficos de distancia unitaria rígida son algebraicos?

Question

Conectar los vértices (0,0) y (1,0) con una unidad de distancia del borde. Agregar más unidad de distancia de los bordes, de modo que el gráfico resultante tiene la rigidez estructural.

Son todos los vértices necesariamente algebraicas?

EDIT: he Aquí un ejemplo de un caso difícil, el Pescado gráfico de Hochberg–O'Donnell, el más pequeño, conocido como triángulo de 4-cromática de la unidad de distancia en la gráfica.

Puntos de $(15, 17, 19, 21, 23)$ $((-0.824076,0.566479), (0.324076,-1.06648), (-0.199583,-0.214551),(-0.632394,-0.774647), (-0.632394,-0.774647))$

las verdaderas raíces de índice $((2,4),(3,1),(3,2),(3,2),(2,5))$ para los siguientes polinomios:

$(-319-216 x+1824 x^2+576 x^3-3072 x^4+2048 x^6, \\ 13+456 x 1728 x^2-1600 x^3+4608 x^4+6144 x^5+2048 x^6, \\ -143-1536 x 4320 x^2+2112 x^3+20736 x^4+27648 x^5+18432 x^6, \\ 64573-91836 x-3233592 x^2-7450560 x^3+23213376 x^4+135454464 x^5+203751936 x^6-48771072 x^7-433963008 x^8-331776000 x^9+127401984 x^{10}+254803968 x^{11}+x 84934656^{12}, \\ -10487+51300 x+418536 x^2-965952 x^3-4849344 x^4-3697920 x^5+40020480 x^6+56733696 x^7-135364608 x^8-199065600 x^9+127401984 x^{10}+254803968 x^{11}+84934656 x^{12})$

Todos los vértices son números algebraicos. Teniendo en cuenta la cantidad de magia que necesitaba para encontrar esta solución exacta, creo que este no es edificable. Como un lado de la cuestión, ¿por qué son todas estas coordenadas utilizando el mismo polinomio?

Answer 1

Sí. Las coordenadas de cada vértice en un grafo puede ser definido en la teoría de campos cerrados, y son por lo tanto algebraicas por el Tarski–Seidenberg teorema. Unidad de restricciones de distancia puede ser expresado como la igualdad, y la definición de rigidez le da un $\delta$, lo que puede suponer para ser racional y, a continuación, se utiliza en una real desigualdad para definir la condición de mentir en un determinado bola abierta de radio $\delta.$

A la inversa que cualquier positivo algebraicas número puede aparecer como una distancia en una unidad rígida-distancia gráfico fue demostrado por Hiroshi Maehara, las Distancias en una unidad rígida distancia gráfica en el plano, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X9190070D (El primer resultado que obtuve para "rígida unidad de distancia algebraicas" en Bing, después de este hilo.)