Derivadas de los valores propios

Question

Digamos que tengo una matriz hermitiana A con elementos $A_{ij}$ dados los valores propios $e_p$ (y vectores propios opcionales $v_p$ )

¿Existe una manera fácil(es) de calcular $\frac{\partial e_p}{\partial A_{ij}}$ ?

Los elementos representan potenciales entre partículas, por lo que cualquier desviación también dejaría la matriz hermitiana.

[Post some answers edit: Incluyendo algunos valores propios degenerados]

Answer 1

Se necesita una convención para elegir la magnitud de $v_p$ digamos que está normalizado a la unidad de longitud. Entonces el enfoque "estándar" es simplemente diferenciar implícitamente $Av_p = e_p v_p$ : $$(dA)v_p + A(dv_p) = de_p \, v_p + e_p dv_p.$$

Ahora que $v_p$ es la unidad de longitud, $v_p \cdot dv_p = \frac{1}{2} d(\|v_p\|^2) = 0$ de modo que $$v_p^T (dA) v_p + v_p ^T A \, dv_p = de_p + 0.$$ Finalmente desde $A$ es hermitiana, $v_p^TA = e_p v_p^T$ y $$v_p^T (dA) v_p = de_p.$$

Por supuesto, la sorprendentemente sencilla $\frac{\partial e_p}{\partial A_{ij}} = (v_p \cdot b_i)(v_p \cdot b_j)$ donde $b_i$ es el vector base euclídeo con a $1$ a la entrada $i$ y ceros en el resto.

Ahora bien, algunas advertencias: si se profundiza en lo que realmente ocurre en el cálculo anterior, estamos suponiendo implícitamente que $e_p$ et $v_p$ varían suavemente dada una variación de $A$ . Esto equivale a que las raíces del polinomio característico varían suavemente en función de los coeficientes, lo que (sólo) es cierto cuando las raíces son distintas. Como alude copper.hat más arriba, la situación es bastante más complicada cuando $A$ tiene valores propios repetidos. Además hemos supuesto explícitamente que $A$ es hermitiana; si la variación que te interesa es la hermitiana $dA = b_ib_j^T + b_jb_i^T$ la fórmula anterior es diferente por un factor de dos.

Answer 2

Nota al margen: estas funciones aparecen en la geometría hamiltoniana, donde son coordenadas de un mapa de momentos para una acción del toro en (un subconjunto de) el colector de Poisson de matrices hermitianas (que puede identificarse con el álgebra de Lie dual de $U(n)$ ).

Primero hazlo para una matriz diagonal hermitiana $D$ con entradas diagonales distintas. Hay dos formas de moverse en el espacio de matrices hermitianas (es decir, el espacio tangente a una matriz diagonal se descompone como una suma de dos subespacios):

• traducir por otra matriz diagonal $D_t = D+ tD'$ . Es fácil ver cómo esto cambia los valores propios.
• Actúa por conjugación mediante una matriz unitaria: $A_t = e^{tX}De^{-tX}$ . Los valores propios son constantes bajo esta acción, por lo que las derivadas de los valores propios son cero en estas direcciones.

Ahora bien, como toda matriz hermitiana se puede diagonalizar, puedes usar esto para responder a la pregunta para todas las matrices hermitianas.

Para los valores propios degenerados, piénsalo de esta manera. O usted tiene distintos valores propios $\lambda_1 > \ldots > \lambda_n$ o tienes algunas igualdades. Supongamos que tenemos una matriz hermitiana $A$ con algunas igualdades, por ejemplo $\lambda_1 = \lambda_2 > \lambda_3$ . La función $\lambda_1$ no es suave en el conjunto de matrices hermitianas en $A$ . Sin embargo, podemos restringirnos al subconjunto de matrices hermitianas cuyos valores propios tienen las mismas igualdades (por ejemplo, considerar todas las matrices hermitianas con valores propios $\lambda_1 = \lambda_2 > \lambda_3$ que es difeomorfo a $\left(U(3)/U(2)\times U(1)\right)\times \mathbb{R}^2$ ). Este subconjunto es un submanifold liso del conjunto de matrices hermitianas, por lo que podemos calcular derivadas de funciones sobre él.

El mismo truco anterior se puede aplicar de nuevo en este submanifold, con la excepción de que en la primera parte, al traducir por otra matriz diagonal, sólo se puede traducir por matrices diagonales que tienen el mismo "patrón" de igualdades en sus entradas diagonales.