Siempre es posible encontrar 3 puntos equidistantes en un circuito cerrado?

Question

Suponga que tiene un continuo, curva cerrada curva. Se permite que se cruzan a sí mismo.

• Siempre es posible encontrar tres puntos sobre la curva que son equidistantes (es decir, forman un triángulo equilátero?)
• Si siempre es posible, puede que la curva tiene un número finito de conjuntos de 3 puntos equidistantes?
• Si se puede tener un número finito de conjuntos de 3 puntos equidistantes, ¿Cuál es el mínimo número de conjuntos de tres puntos equidistantes que la curva puede tener?

Edit: he Aquí una animación (esperamos que va a cargar para usted) https://imgur.com/a/x8zii

Edit 2: sé que un círculo tiene un número infinito de equidistante tríos de puntos - quería saber si existía alguna curva que sólo había un número finito de equidistante tríos de puntos.

Answer 1

Sí, siempre es posible encontrar un triángulo equilátero en un (suficientemente suave) curva cerrada. Aquí tenemos una ilustración de la prueba insinuado anteriormente:

1. Comienza con una cerrada curva S (negro). Encontrar un punto en la curva que tiene una bien definida tangente (punto rojo).
2. Rotar la curva de 60 grados sobre el punto A. Esto produce una segunda curva T (gris) superpuesta a la primera.

3. Yo reclamo que las dos curvas S y T se cruzan en al menos dos lugares. Teóricamente, las opciones para cualquier curvas cerradas son que las curvas están completamente separados unos de otros (por ejemplo, lejos el uno del otro, o si una curva es totalmente contenida en la otra); o tocar en exactamente un punto (osculate); o tocar más de una vez. Pero las dos curvas se cortan en el punto de pivote de Un curso, por lo que toca al menos una vez.

4. Y en el punto a, T pasa de ser fuera de S para estar dentro de S. Debido a que ambas curvas son cerradas, T debe surgir a partir de la S en algún momento con el fin de llegar a Un punto de nuevo desde el exterior. Por lo tanto T debe intersectar S de nuevo en algún lugar. La llamada que el punto B (azul).

5. El punto B es un punto de la curva S y la curva de T. Considerar como un punto de la curva T. Vamos a girar la curva T de nuevo en el punto S y ver que el correspondiente punto de la curva S. Convocatoria correspondiente al punto C (verde).

6. El reclamo es que ABC es un triángulo equilátero.

7. Evidentemente, debido a la rotación proceso que transforma C en B, el ángulo BAC es de 60 grados.

8. Y debido a la rotación sobre el punto transforma C en B, los segmentos AC y AB tienen la misma longitud.

9. Por el lado-ángulo-lado teorema, esto demuestra que el triángulo ABC es equilátero.

No siempre hay un número finito de triángulos equiláteros, porque, por ejemplo, un círculo puede tener un número infinito de ellos. (Hay otros ejemplos: considere la posibilidad de un rectángulo con una corta los bordes verticales y uno muy, muy largo borde horizontal. Hay un triángulo equilátero con un vértice en la parte superior del rectángulo, y un borde completamente en la parte inferior del rectángulo. Usted puede deslizar horizontalmente para producir una infinidad de congruencia de triángulos equiláteros a lo largo de la longitud del rectángulo.)