Continua $f$ tal que $f(x)=f(x^2)$ es constante?

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función continua tal que $f(x)=f(x^2)$ todos los $x\in\mathbb{R}$. He comprobado que también se $f\left(y^{(2^{-n})}\right)=f(y)$ todos los $n\in\mathbb{N}, y\geq0$. ¿Cómo puedo deducir que $f$ es constante?

Answer 1

Para$x>0$$x^{1/2^{n}}\rightarrow 1$,$f(x)=f(x^{1/2^{n}})\rightarrow f(1)$, lo $f(x)=f(1)$. Ahora $f(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=f(1)$. Y sabemos que $f$ es una función par.

Answer 2

Si $f$ es continua, para todos secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ como $x_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow}x$ $$ f\left(x_n\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow}f\left(x\right) $$ Debe ayudar a usted a la conclusión.