Variantes de Kuratowski del 14 de establecer el teorema de

Question

Kuratowski del 14 de establecer el teorema dice que hay en la mayoría de los 14 conjuntos se puede obtener a partir de un conjunto determinado $A\subseteq X$ en un espacio topológico $X$ por aplicar repetidamente el interior y complementar las operaciones. Él también mostró que si se agrega intersección a esa lista (y por lo tanto todas las operaciones Booleanas) potencialmente hay infinitamente muchos conjuntos que uno puede obtener.

Mi pregunta es la siguiente:

1. Para cada una de las $n$, ¿cuál es el número máximo de conjuntos se puede obtener a partir de un conjunto determinado mediante el complemento de la intersección, y en la mayoría de las $n$ aplicaciones del interior de la operación?

Sin duda es finito. Por ejemplo, el número de conjuntos uno puede hacer de las operaciones Booleanas y una aplicación del interior, la operación no es más que el álgebra Booleana libremente generada por $A$ y formal del interior $int(A)$, es decir 16. Y, más en general, el número de conjuntos uno puede hacer de n+1 aplicaciones del interior de la operación no supere el tamaño de la álgebra de boole libremente generado por los elementos generados por $n$ aplicaciones, y los interiores formales de los elementos.

Como un medio de responder a esta pregunta, es natural que se busque un análogo de la forma normal disyuntiva en la lógica proposicional. Cada combinación de operaciones Booleanas que potencialmente produce resultados diferentes cuando se aplican a $k$ distintos conjuntos de $A_1...A_k$ es equivalente a una combinación que tiene la forma de una unión de las intersecciones, donde cada intersección consiste en $A_i$ o su complemento para cada una de las $i \in 1...k$. Así que mi segunda pregunta es:

2. Hay una (muy) canónica manera de expresar las combinaciones de las operaciones de$\{int, \cdot^c, \cap, \cup\}$, $k$ variables que potencialmente producen diferentes conjuntos?

Más precisamente, podemos definir las expresiones formales sobre las variables $A_1...A_k$ como sigue: $A_1...A_k$ son expresiones, y $int(B)$, $B^c$, $B\cap C$ y $B\cup C$ son expresiones si $B$ $C$ (y, por otra parte, las expresiones son el conjunto más pequeño de cadenas cerradas en virtud de estas reglas). Decir que dos expresiones son equivalentes si que evaluar a la misma cosa en cada espacio topológico, para cada asignación de los conjuntos de las variables. Una respuesta satisfactoria a 2 continuación, debe ofrecer una colección canónica de expresiones que no hay dos canónica expresiones son equivalentes, y que cada expresión es equivalente a una expresión canónica. Por supuesto, para contestar la pregunta 1 solo necesitamos el caso en que k=1.

(Los punteros a la literatura relevante, también se aprecian.)

EDITAR:

Por cierto, estoy particularmente interesado en el caso de que $X$ es extremally desconectado, así que si la imposición de esa condición hace que la cuestión más simple también me gustaría estar muy interesado.

Answer 1

Dado que la relación entre interior y de la unión, a saber, $int(A)\cup int(B)\subseteq int(A\cup B),$ se queda corto de igualdad, parece dudoso que cualquier buena forma canónica nunca ser encontrado.

La pregunta 1 es inusual porque se restringe el número de veces que una operación puede ser aplicado; no hay tal variación de Kuratowski del teorema se ha presentado anteriormente a mi conocimiento. Una lista de (cierre o interior)-el complemento de la intersección de las referencias se pueden encontrar aquí.

Deje $f(n)$ el valor del máximo de la Pregunta 1. Como el OP dijo, el valor de $f(n+1)$ "no podrá exceder el tamaño de la álgebra de boole libremente generado por los elementos generados por $n$ aplicaciones, y los interiores formales de los elementos." Desde el álgebra Booleana libremente generada por $0$ aplicaciones tiene dos elementos no triviales $A$ $cA,$ el límite para $f(1)$ sobre la base de este razonamiento es $2^{2^4},$ con los generadores de ser $A,$ $cA,$ $int(A),$ $int(cA).$ la Eliminación de $cA$, esto reduce a $2^{2^3}=256.$

El valor real de $f(1)$ resulta ser $12$:

1.  A
2.  cA
3.  iA
4.  ciA
5.  icA
6.  cicA
7.  A ∩ cA = ∅
8.  c(A ∩ cA) = X
9.  ciA ∩ A
10. cicA ∩ cA
11. c(ciA ∩ A)
12. c(cicA ∩ cA)

Prueba. La única (no trivial) los candidatos para la aplicación de interior podemos tener son los conjuntos 1 y 2, que al interior se aplica a ellos producen conjuntos de 3 y 5; no tenemos necesidad de preocuparse nunca de aplicar el interior de nuevo. Es obvio que establece 1-12 son cerrados bajo complementar. Conjuntos de 9 y 10 son los únicos que no son triviales intersecciones (de cualquier número de conjuntos) entre conjuntos 1-8 que no violan la condición; tenga en cuenta que cicA ∩ ciA también es trivial, sino que también viola la restricción en el interior. La intersección de 9 y 10 es trivial, por lo tanto establece 1-10 son "cerradas bajo" intersección (sujeto a la restricción). Por lo tanto la única manera de conseguir cualquier nuevos conjuntos de 1-12 es cruzan cualquiera de los 11 o 12 con 1 o 2.

Pero c(ciA ∩ A) ∩ A = iA y c(ciA ∩ A) ∩ cA = cA. Por la dualidad de las intersecciones de 12 con 1 y 2 son igualmente trivial. $\blacksquare$

De nuevo observamos que establece 1-12 son generados por la aplicación de las operaciones Booleanas a estos tres conjuntos:

1.  A
3.  iA
5.  icA

Tomando nota de que el interior se distribuye a través de la intersección, cuando aplicamos el interior de los conjuntos de 1-12 solo cuatro generadores adicionales para $f(2)$:

13. iciA
14. icicA
15. ic(ciA ∩ A)
16. ic(cicA ∩ cA)

Por lo tanto nuestra inicial crudo obligado en $f(2)$ $2^{128}.$ Basada en los experimentos el valor de $f(2)$ es, probablemente, 40 años, con (una representación de) el resto de los posibles conjuntos de ser:

17. ciciA
18. cicicA
19. iciA ∩ A
20. iciA ∩ cA
21. ciciA ∩ A
22. ciciA ∩ cA
23. icicA ∩ A
24. icicA ∩ cA
25. cicicA ∩ A
26. cicicA ∩ cA
27. cicA ∩ ciA
28. c(iciA ∩ A)
29. c(iciA ∩ cA)
30. c(ciciA ∩ A)
31. c(ciciA ∩ cA)
32. c(icicA ∩ A)
33. c(icicA ∩ cA)
34. c(cicicA ∩ A)
35. c(cicicA ∩ cA)
    c(cicA ∩ ciA) = ic(cicA ∩ cA)
36. cic(ciA ∩ A)
37. c(ciA ∩ A) ∩ cicA
38. c(cicA ∩ cA) ∩ ciA
39. cic(ciA ∩ A) ∩ cA
40. c(cic(ciA ∩ A) ∩ cA)

Para encontrar el anterior establece he utilizado un $7$-punto de semillas en un $14$-punto del espacio que genera el máximo número posible de las distintas intersecciones de Kuratowski del 14 de conjuntos ($14+72=86;$ tenga en cuenta que esto no se puede hacer en un espacio con menos de 14 puntos) a generar una gran cantidad de conjuntos ($2^{11}$ para ser exactos), luego se filtra a aquellas con dos o menos de las aplicaciones de interior en sus representaciones.

Es cierto que todos los que me han "demostrado" aquí es que $40\leq f(2)\leq2^{128},$ pero probablemente sería bastante fácil (si un poco de tiempo...) para demostrar que $f(2)=40.$