Examinar la convergencia uniforme de la serie de $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+(n-1)x)(1+nx)}$

Question

Examinar la convergencia uniforme de la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+(n-1)x)(1+nx)}$$

en los intervalos de $[a,b]$ donde $(0 < a < b)$ $[0,b]$ donde $(b>0)$

Mi intento:

(i) En el intervalo de $[a,b]$

Enfoque (1)

Observe que $$\frac{x}{(1+(n-1)x)(1+nx)} = \frac{1}{1+(n-1)x} - \frac{1}{1+nx}$$

Por lo tanto: $$\sum_{k=1}^n \frac{x}{(1+(n-1)x)(1+nx)} = 1 - \frac{1}{1+nx}$$

así que la serie converge pointwise a la constante $1$-función.

La convergencia es uniforme:

$$\sup_{x \in [a,b]}\left|1-\frac{1}{1+nx}-1\right| \leq \frac{1}{na} \to 0$$

Enfoque (2)

$$\sup_{x \in [a,b]} \left|\frac{x}{(1+(n-1)x)(1+nx)}\right| \leq \frac{b}{(1+(n-1)a)(1+na)} = \frac{b}{n²}\frac{1}{(1/n + a((n-1)/n))(1/n +a)}$$

y la última expresión es una convergencia de la secuencia (a $a^{-2}$), por lo que es acotada arriba por un número real $M$

y, por lo tanto:$$\sup_{x \in [a,b]} \left|\frac{x}{(1+(n-1)x)(1+nx)}\right| \leq \frac{b}{(1+(n-1)a)(1+na)} \leq \frac{Mb}{n^2}$$

y podemos deducir convergencia uniforme por el Weierstrass' M-test.

(ii) En el intervalo de $[0,b]$

Enfoque (1)

De nuevo, el uso de las sumas parciales, podemos ver que la serie de funciones converge pointwise a $f(x) = \begin{cases}1 \quad x \neq 0 \\0 \quad x =0\end{cases}$. Esta es una función que no es continua, pero las sumas parciales son. Por lo tanto, la convergencia no puede ser uniforme.

Enfoque (2)

También se puede mostrar de manera directa. Deje $n \in \mathbb{N}$. Deje $m \geq n$ tal que $\frac{1}{m}< b$. Deje $x = \frac{1}{m}$. Entonces:

$$\left|1-\frac{1}{1+mx}-1\right| = 1/2$$

Por lo tanto, la serie no converge uniformemente.

Enfoque (3)

Ahora, me gustaría uso de Cauchy de convergencia de criterio, ya que considero que el uso de sumas parciales un poco de trampa, en el sentido de que a menudo es imposible de encontrar.

Sin embargo, yo estoy luchando con esto.

Alguien puede dar una prueba de que la serie no converge uniformemente con el criterio de cauchy?

I. e., probar que:

$$\exists \epsilon > 0: \forall n : \exists p,q > n: \exists x \in [0,b] \left|\sum_k^p - \sum_k^q\right| \geq \epsilon$$

Así que mis preguntas:

¿Cómo puedo completar la prueba con el criterio de Cauchy? Es lo que yo he escrito, ¿correcto?

Answer 1

elegir $p=N+1$, $q=2N$ y $x=\frac1N$ $$\sum_{n=p}^{q}\frac{x}{(1+(n-1)x)(1+nx)}=\sum_{n=N+1}^{2N}\left(\frac1{1+(n-1)x}-\frac1{1+nx}\right)=\frac1{1+Nx}-\frac1{1+2Nx}=\frac{Nx}{(1+Nx)(1+2Nx)}=\frac16$$ así que si dejamos $\frac16>\varepsilon > 0$ cualquier $N>n$(al $n$ suficientemente grande tal que $\frac1n<b$, de modo que $x$ todavía en su dominio), la igualdad anterior es siempre cierto.