La simetría de ciertos integral impropia

Question

Deje $a < b < c < d$ ser números reales. Es cierto que la siguiente identidad se mantiene? $$\int_a^b \frac{{\rm d}x}{\sqrt{|x-a||x-b||x-c||x-d|}}= \int_c^d \frac{{\rm d}x}{\sqrt{|x-a||x-b||x-c||x-d|}}$$

Un amigo mío me dijo que un amigo suyo le dijo que era verdad. Pero, por desgracia, no tenemos ni idea de cómo atacar este. Hemos hecho un par de casos en Mathematica y parece ser cierto, a menos que le faltó algo simple.

Answer 1

Hay resultados parecidos en Giovanni Mingari Scarpello, Daniele Ritelli, El hyperelliptic integrales y π, Revista de Teoría de los números 129 (2009) 3094-3108.

\begin{align} \int_{d}^{c} \frac{dx}{\sqrt{(a-x)(b-x)(c-x)(x-d)}} &= \frac{2}{\sqrt{(a-c)(b-d)}} K\left( \sqrt{\frac{(a-b)(c-d)}{(a-c)(b-d)}}\, \right) \\ \int_{b}^{a} \frac{dx}{\sqrt{(a-x)(b-x)(c-x)(x-d)}} &= \frac{2}{\sqrt{(a-c)(b-d)}} K\left( \sqrt{\frac{(a-b)(c-d)}{(a-c)(b-d)}}\, \right) \\ \\ \end{align}

con convenio de $a>b>c>d$. Estos también pueden ser verificados por Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, Tabla de Integrales, Series y Productos. También,

$$ \int_{c}^{b} \frac{dx}{\sqrt{(a-x)(b-x)(x-c)(x-d)}} = \frac{2}{\sqrt{(a-c)(b-d)}} K\left( \sqrt{\frac{(b-c)(a-d)}{(a-c)(b-d)}}\, \right) $$

Answer 2

Un bajo nivel de verificación.

El hecho de que la cruz de los cocientes de $(a,b;c,d)$ $(c,d;a,b)$ son iguales, se sigue que la homografía $f(t)=\frac{pt+q}{rt+s}$ que se asigna a $a$ a $c$, $b$ a$d$$c$$a$, también mapa de $d$$b$. La solución para que los coeficientes de da $$p=bd-ac,\; q=abc-abd+acd-bcd,\; r=d-c+b-a,\;s=-p$$ El resultado $f(t)$ es su propia inversa y tiene el dominio y rango de $\Bbb R \setminus \{t_0\}$ donde $t_0=-\frac sr$.

Ahora $t_0-b=\frac{(b-a)(c-b)}{d-c+b-a}>0$, lo $f$ es continua en a $[a,b]$ y mapas que el intervalo de a $[c,d]$ (y de regreso).

La transformación de la primera integral en la cuestión aplicando el cambio de parámetro $x=f(y)$ tiene la segunda integral como resultado debido a $$\frac{dx}{dy}=\frac{ps-rq}{(ry+s)^2}\qquad \mathrm {with}\qquad ps-rq=(b-a)(d-c)(c-b)(d-a)$$ $$f(y)-a=\frac{(b-a)(d-a)(y-c)}{ry+s}$$ $$f(y)-b=\frac{(b-a)(c-b)(y-d)}{ry+s}$$ $$f(y)-c=-\frac{(c-b)(d-c)(y-a)}{ry+s}$$ $$f(y)-d=-\frac{(d-a)(d-c)(y-b)}{ry+s}$$

Answer 3

Desde $a<b<c<d$, tenemos dos casos:

1) Si $a<x<b$, luego $$|x-a||x-b||x-c||x-d| = (x-a)(b-x)(c-x)(d-x) = (a-x)(b-x)(c-x)(x-d).$$

2) Si $c<x<d$, luego $$|x-a||x-b||x-c||x-d| = (x-a)(x-b)(x-c)(d-x) = (a-x)(b-x)(c-x)(x-d).$$

Por lo tanto,

$$\int_a^b \frac{1}{\sqrt{|x-a||x-b||x-c||x-d|}} \ dx = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{(a-x)(b-x)(c-x)(x-d)}} \ dx$$

y

$$\int_c^d \frac{1}{\sqrt{|x-a||x-b||x-c||x-d|}} \ dx = \int_c^d \frac{1}{\sqrt{(a-x)(b-x)(c-x)(x-d)}} \ dx.$$

Ahora uso la respuesta dada por @Ng Chung Tak a la conclusión de estas dos integrales son iguales.