En estas dos preguntas desde hace un par de años, hubo alguna discusión de la homotopy grupos de la libre bucle espacio de $LX$ a de un espacio topológico $X$, que, misteriosamente, es la única referencia que puedo encontrar sobre el tema, aunque ha habido un montón de trabajo en la (co)homología de bucle libre de los espacios.
El largo de la secuencia exacta de los fibration $\Omega X\to LX\to X$ ayuda mucho en el cómputo de las $\pi_i(LX,c(x))$ donde $x\in X$ $c:X\to LX$ es la incorporación de la constante de bucles. Desde $c$ admite una retracción, todos los mapas de los límites en el largo exacto de la secuencia de desaparecer. Entonces la mayor homotopy grupos son fáciles: $\pi_i(LX)\cong \pi_i X\oplus \pi_{i+1} X$, cuando se $i>1$.
Para el grupo fundamental, consigue $\pi_1(LX,c(x))\cong \pi_2(X,x)\rtimes_\rho \pi_1(X,x)$ donde $\rho$ es un poco de acción de $\pi_1$$\pi_2$. Es natural suponer que $\rho$ debe ser la habitual acción de $\pi_1$$\pi_2$, pero no estoy tan seguro. Dado $\gamma\in\pi_1(X)$ representado por $g$ $\alpha\in\pi_2(X)$ representado por $a:S^2\to X$, la costumbre de acción hace que $\gamma\cdot\alpha$ la clase de algún mapa en $a'$ que es homotópica a $a$ por un homotopy enviando el punto de base en torno a $g$.
Pero $\rho$ tiene que ser la conjugación de la acción en $\pi_1(LX,c(x))$, que podemos describir de la manera más concreta el grupo de punta homotopy clases de pinzamiento de tori $TP\to X$$x$. Entonces, para calcular $\rho(\gamma)(\alpha)$, podemos ver $g$ $a$ como degenerados pellizcado tori, tomar la concatenación $g^{-1}* a * g$, y luego el contrato el camino de $g^{-1}*g$ el punto de partida de la siguiente manera en el resultado. Este no tiene el mismo aspecto como de costumbre acción para mí.
Para la ilustración, he aquí una posible-incomprensible croquis. Estas fotos están describiendo los mapas de $S^2\to X$ como mapas de la plaza de la $I^2$. Oscuras líneas se asignan a $x$, las flechas son copias de $g$,
y en diagonal llena regiones son copias de $a$. No veo que dos de los tres 2-esferas $a,\rho(\gamma)(\alpha),$ $\gamma * \alpha$ son equivalentes en $\pi_2(X)$, aunque seguramente $\rho(\gamma)(\alpha)$ debe ser un o el otro. Alguien tiene alguna idea? 
