¿Por qué es la transformada de Fourier de un espacio llamado como el impulso espacio?

Question

Si yo tomo un periódico función de onda $\psi\left(\vec{r}\right)$ y, a continuación, tomar el espacio de Fourier de la dispersión de la función de onda como se define a continuación $$\psi(\vec{k})=\iiint_{-\infty}^{+\infty}\psi\left(\vec{r}\right)e^{-\vec{k}\cdot\vec{r}}\mathrm{d}^3\vec{r}$$

Hay una razón para llamar a $\psi(\vec{k})$ el impulso espacio de representación de la función de onda? (Entiendo que el hecho de que el espacio vectorial $\vec{k}$ obtiene cuantificada de acuerdo a la formulación, $\vec{k}\cdot\vec{R}=2\pi$, donde en $\vec{R}$ es el entramado de traducción vector periodicidad de $\psi(\vec{r})$ en una red cristalina), pero, ¿hay alguna otra razón para llamar impulso espacio?

Answer 1

Como por mi nombre de usuario, creo que es parcialmente mi responsabilidad para abordar esta cuestión. Lo he dicho antes y lo diré de nuevo: La transformada de Fourier no es un accidente. Hay un sinnúmero de razones por las que tiene precisamente la forma que tiene.

Deje $F[f]$ denotar la transformada de Fourier de $f$, y deje $\boldsymbol P=-i\boldsymbol \partial$ denotar el impulso del operador. Tenemos $$F[\boldsymbol Pf]=\boldsymbol p F[f]\tag1$$ de modo que $F$ diagonalises $\boldsymbol P$. De hecho, el plano de onda base $\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot \boldsymbol x}$ satisface $$\boldsymbol P\,\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot \boldsymbol x}=\boldsymbol p\,\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot \boldsymbol x} \tag2$$ lo cual implica automáticamente el $(1)$, como se reivindica.

De esto aprendemos que cualquier operación que incluye $\boldsymbol P$ se convierte en trivial si trabajamos con $F[f]$ en lugar de con $f$ - si hemos de trabajar en el espacio de Fourier. Por lo tanto, el espacio de Fourier es conocido como el impulso de espacio. Conveniente, ¿no?

En pocas palabras, $F[\psi]$ es el impulso de lo $\psi$ es para la posición. Esto es una consecuencia directa de la (formal) el hecho de que $$F[\langle \boldsymbol x|]=\langle \boldsymbol p|\tag3$$ lo que significa que ambas partes están de acuerdo cuando actúan en $|\psi\rangle$.

Answer 2

pero, ¿hay alguna otra razón para llamar impulso espacio?

La canónica de conmutación relación de la posición y el impulso de los operadores (en una dimensión)

$$[X, P]|\psi\rangle = (XP - PX)|\psi\rangle = i\hbar|\psi\rangle$$

En la posición de base, esto es

$$[x,P_x]\psi(x) = (xP_x - P_xx)\psi(x) = i\hbar\psi(x)$$

y de ello se sigue que una posición en la base de la representación de el impulso operador es

$$P_x = -i\hbar\partial_x$$

---

Una función de onda con el definitivo impulso a $p$ es entonces

$$\psi_p(x) = e^{\frac{i}{\hbar}px} = \langle x|p\rangle$$

tal que

$$P_x\psi_p(x) = -i\hbar\partial_x\,e^{\frac{i}{\hbar}px} = pe^{\frac{i}{\hbar}px} = p\psi_p(x)$$

Ahora, si escribimos

$$k = \frac{p}{\hbar}$$

entonces

$$\psi_p(x) = e^{ikx}$$

---

El impulso de espacio en función de onda $\psi(p)$ es sólo el ket $|\psi\rangle$ proyectado en el impulso de la base:

$$\psi(p) = \langle p | \psi\rangle = \int\mathrm{d}x\, \langle p | x\rangle\langle x | \psi\rangle$$

donde he utilizado la integridad relación

$$1 = \int\mathrm{d}x\,|x\rangle\langle x |$$ pero

$$\psi(x) = \langle x | \psi\rangle$$

y

$$e^{-\frac{i}{\hbar}px} = \langle p| x\rangle$$

así

$$\psi(p) = \int\mathrm{d}x\,\psi(x)\,e^{-\frac{i}{\hbar}px}$$

o, finalmente,

$$\psi(k) = \int\mathrm{d}x\,\psi(x)\,e^{-ikx}$$

Answer 3

Otro nombre de la justificación:

En ambos cristal y de de-Broglie, el formalismo, el impulso se define como $p=\hbar k$. Esto crea una asignación entre una onda pura con número de onda k y un punto en el impulso de espacio. Si la función de onda es una superposición de, digamos, tres ondas, su impulso representación constará de tres puntos.

La transformada de Fourier, se realiza la misma asignación. La transformación de "exploraciones" posible k y aporta cero en todo, excepto por la pura onda constituyentes de la forma de onda.