Finito índice subgrupo con conexión abelianization

Question

Supongamos que G es un nilpotent, finitely generado grupo, tal que abelianization tiene rango r. ¿Cómo se hace para probar que G tiene un número finito de índice subgrupo H con conexión abelianization de rango r?

Answer 1

El abelianization le da un surjection $G\twoheadrightarrow G^{ab}\cong\mathbb Z^r\oplus T$ donde $T$ es un número finito de torsión del grupo. (Finito porque el abelianization es finitely generado.) Ahora vamos a $H$ ser la inversa de la imagen de $\mathbb Z^r$ bajo este surjection.

Edit: Como se señaló en los comentarios, $H^{ab}$$\mathbb Z^r\oplus T_1$. Así que usted repita el proceso de tomar un número finito de índice de un subgrupo de $H$, decir $H_1$. Ahora no es difícil mostrar que $G,H,H_1,\ldots$ es un descendiente central de la serie. Que significa cada término está contenida en el término correspondiente de la parte inferior central de la serie y los cocientes $H_i/H_{i+1}$ están contenidas en los cocientes $\Gamma_i/\Gamma_{i+1}$ de la parte inferior central de la serie, que finalmente son triviales.