Geometría de los polinomios simétricos elementales

Question

El polinomios simétricos elementales aparecen cuando expandimos una factorización lineal de un polinomio mónico: tenemos la identidad $$\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).$$ Para $n = 3$ : $${\begin{aligned} e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\ e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\ e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\\\ \end{aligned}}$$

En el ejemplo dado, obtenemos un plano para $e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})=c_1$ y hiperboloide de dos hojas para $e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})=c_2$ que da un cono si $c_2=0$ .

¿Existe una descripción general de la geometría de $e_k(X_1,\dots,X_n)=c_k$ ?

Answer 1

Esta es una respuesta parcial; trataremos $k = 1, 2, n$ y $(n, k) = (4, 3)$ .

Tenga en cuenta, por cierto, que si $c_k = 0$ la ecuación resultante $e_k(X_1, \ldots, X_n) = 0$ es homogénea, por lo que al proyectar podemos considerar el conjunto solución como una codimensión $1$ variedad proyectiva en $\Bbb P^{n - 1} = \Bbb P(\Bbb F^n)$ .

Ahora, por supuesto, $$e_1(X_1, \ldots, X_n) = X_1 + \cdots + X_n = c$$ define un hiperplano, a saber, el que pasa por $(c, 0, \ldots, 0)$ con el vector normal $${\bf U} := \pmatrix{1\\ \vdots\\1}.$$

Para cualquier $n$ podemos considerar $$e_2(X_1, \ldots, X_n) = \sum_{i < j} X_i X_j$$ como una forma cuadrática en $\Bbb R^n$ dotado de coordenadas ${\bf X} := (X_a)$ , es decir, la que tiene asociada la matriz $$[e_2] := \frac{1}{2}\, \pmatrix{ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0} = \frac{1}{2}({\bf U}^T {\bf U} - I_n)$$ con respecto a la base estándar. Se puede demostrar que $[e_2]$ tiene un determinante no nulo (por ejemplo, ya que es una actualización de rango uno de la matriz invertible $-\frac{1}{2}I_n$ podemos utilizar el Fórmula Sherman-Morrison ), por lo que la forma cuadrática es no degenerada (al menos para $n > 1$ para $n = 1$ , $e_2(X_1) = 0$ y en lo sucesivo no tendremos en cuenta este caso). Es fácil ver $[e_2]$ tiene $1$ valor propio positivo y $n - 1$ valores propios negativos, por lo que $e_2$ tiene firma $(1, n - 1)$ . Podemos concluir lo siguiente sobre el conjunto de niveles $$\Sigma_c := \{e_2({\bf X}) = c\}, \qquad c \in \Bbb R .$$

• Para $c > 0$ , $\Sigma_c$ es una no degenerada $2$ -de la hipersuperficie cuádrica. (Las dos hojas están separadas por el hiperplano $e_1({\bf X}) = \{{\bf U} \cdot {\bf X} = 1 \}$ .)
• Para $c = 0$ , $\Sigma_0$ es un cono no degenerado; su proyectivización es un $(n - 2)$ -esfera en $\Bbb R \Bbb P^{n - 1}$ .
• Para $c < 0$ , $\Sigma_c$ es una no degenerada $1$ -de la hipersuperficie cuádrica para $n > 2$ (pero de nuevo es $2$ -sabotaje para $n = 2$ en cuyo caso es simplemente una hipérbola).

Cuando $k = n$ la variedad $\{e_n({\bf X}) = 0\}$ es la unión de los hiperplanos de coordenadas $\{X_a = 0\}$ , $a = 1, \ldots, n$ .

Las variedades $\{e_k({\bf X}) = c\}$ que no están contemplados en los casos anteriores suelen ser menos conocidos, pero al menos algunos de ellos fueron estudiados clásicamente e incluso tienen nombres específicos. Por ejemplo, en el caso más sencillo que queda, $n = 4$ , $k = 3$ es decir, la variedad $\{e_3(X_1, X_2, X_3, X_4) = 0\}$ a veces se llama _Superficie de Cayley_ (o más exactamente, su proyectivización en $\Bbb R \Bbb P^3$ es).