simplificando una expresión que concluye $e^x$

Question

Ahora mismo estoy resolviendo una pregunta de bachillerato(bueno, soy bachiller) y no entiendo como simplifican la expresión:

$$\frac{-e^{x}+\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}}{-e^{x}+\sqrt{1+e^{2x}}}$$

Ser la expresión $$\frac{-e^{x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}.$$

Intenté hacer $$\frac{\frac{e^{2x}+\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)(-e^{x})}{\sqrt{1+e^{2x}}}}{-e^{x}+\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^{2x}+\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)(-e^{x})}{\sqrt{1+e^{2x}}\left(-e^{x}+\sqrt{1+e^{2x}}\right)}=\frac{e^{2x}+\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)(-e^{x})}{\sqrt{1+e^{2x}}(-e^{x})+1+e^{2x}}$$ Pero no entiendo cómo continuar desde aquí.

Answer 1

$$\require{cancel}\begin{align}\frac{\frac{e^{2x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}}- e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}} - e^x} \frac{\sqrt{1 + e^{2x}} + e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}} + e^x} &= \frac{\frac{\bcancel{e^{2x}}}{\color{#f05}{\cancel{\sqrt{1 + e^{2x}}}}}\color{#f05}{\cancel{\sqrt{1 + e^{2x}}}} + \frac{e^{3x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}} - e^x\sqrt{1 + e^{2x}} - \bcancel{e^{2x}}}{1 + \color{#66f}{\cancel{e^{2x}}} - \color{#66f}{\cancel{e^{2x}}}}\\&=\frac{e^{3x} - e^x(1 + e^{2x})}{\sqrt{1 + e^{2x}}}\\&=\color{red}{\frac{- e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}}\end{align}$$

Answer 2

En lugar de ir de la expresión media en su línea final, es decir,

$$\frac{e^{2x}+\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)(-e^{x})}{\sqrt{1+e^{2x}}\left(-e^{x}+\sqrt{1+e^{2x}}\right)}$$ a

$$\frac{e^{2x}+\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)(-e^{x})}{\sqrt{1+e^{2x}}(-e^{x})+1+e^{2x}}$$

intente factorizar un $e^x$ del numerador de la expresión intermedia:

$$\frac{e^{2x}+\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)(-e^{x})}{\sqrt{1+e^{2x}}\left(-e^{x}+\sqrt{1+e^{2x}}\right)}={e^x(e^x+(\sqrt{1+x^{2x}})(-1))\over\sqrt{1+e^{2x}}\left(-e^{x}+\sqrt{1+e^{2x}}\right)}$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 3

Mira el numerador de tu gran fracción, que es $$-e^x+\frac {e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}$$

Pon esto sobre un denominador común $$\frac {-e^x\sqrt{1+e^{2x}}+e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}$$

Extraer un factor $-e^x$ del numerador $$-e^x\frac {\sqrt{1+e^{2x}}-e^{x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}$$

Ahora divídelo por el denominador original y cancélalo.

Esto implica menos pasos y más sencillos que los otros métodos propuestos, pero implica detectar que el factor grande se cancelará de forma directa.