Reducción de una estructura de grupo.

Question

Deje $X$ ser suave, un colector y $\pi:E\rightarrow X$ un vector paquete de rango $k$ sobre X. Si uno se las arregla para redefinir $E$ mediante el uso de un cocycle $\{g_{\alpha,\beta}\}$ cuyos valores están contenidos en un subgrupo $G$$GL(k)$, entonces uno dice que $E$ $G$- bundle.

Muchos libros de texto dicen que $E$ viene con una métrica (sin problemas de variación de fibra sabio métrica), la estructura de grupo puede ser reducido a $O(k)$. No estoy muy convencido con este hecho; a partir de una transición de la función de $\{g_{\alpha,\beta}\}$ cuyos valores son sólo en $GL(k)$, es obvio que uno puede hacer una transición nueva función cuyos valores son sólo en $O(k)$?

Answer 1

Si $\{U_{\gamma}\}$ es una cubierta abierta de a $X$ que trivializa $E$,$U_{\alpha}$, hay secciones $s_1, \dots, s_m$ tal que $\{s_i(x)\ |\ i = 1, \dots, m\}$ es una base para $E_{x}$ por cada $x \in U_{\alpha}$ ($m$ es el rango de $E$). Supongamos ahora que $x \in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$, y deje $\sigma_1, \dots, \sigma_m$ ser las secciones correspondientes; en particular, $\{\sigma_i(x)\ |\ i = 1, \dots, m\}$ es también una base para $E_x$. Entonces existe una matriz de cambio de base $g_{\alpha\beta}(x)$ que transforma $\{\sigma_i(x)\ |\ i = 1, \dots, m\}$ a $\{s_i(x)\ |\ i = 1, \dots, m\}$; es decir $s_i(x) = g_{\alpha\beta}(x)\sigma_i(x)$$i = 1, \dots, m$.

Una selección de métricas en $E$ da un producto interior $\langle \cdot, \cdot\rangle_x$$E_x$. Esto nos permite medir ángulos; en particular, podemos aplicar las bacterias Gram-Schmidt proceso para obtener una base ortonormales para $E_x$. Por lo tanto, se puede tomar tanto en $\{\sigma_i(x)\ |\ i = 1, \dots, m\}$ $\{s_i(x)\ |\ i = 1, \dots, m\}$ a ser ortonormales bases para $E_x$. Tenga en cuenta que

$$\delta_{ij} = \langle s_i(x), s_j(x)\rangle_x = \langle g_{\alpha\beta}(x)\sigma_i(x), g_{\alpha\beta}(x)\sigma_j(x)\rangle_x,$$

y

$$\delta_{ij} = \langle\sigma_i(x), \sigma_j(x)\rangle_x.$$

Por lo tanto,$\langle\sigma_i(x), \sigma_j(x)\rangle_x = \langle g_{\alpha\beta}(x)\sigma_i(x), g_{\alpha\beta}(x)\sigma_j(x)\rangle_x$, lo $g_{\alpha\beta}(x)$ preserva el interior del producto y por lo tanto es un elemento del grupo ortogonal.