La generalización de la fórmula para el volumen y la superficie de la n-esfera permite evaluar los volúmenes y áreas de negativo-dimensional n-esferas.
$$\begin{array}{ll} S_{n-1}(R) &= \displaystyle{\frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}R^{n-1}} \\[1 em] V_n(R) &= \displaystyle{\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}}R^n \end{array}$$
Me pregunto cuál es la negativa-dimensional n-esferas son? Son como pseudosphere o hyperboloid?
En general, lo negativo-dimensional espacio vectorial es?
Hay una manera de hacer sentido de todo entero dimensiones, aunque no estoy seguro de si va a ser útil para usted. Vamos a empezar con la colección de Euclídea espacios, $$ E=\{\mathbb R^n, n\in\mathbb Z,n\geq0\}, $$ por ejemplo. Hay dos operaciones por espacios en $E$, la suma directa y el producto tensor. Si podemos identificar los espacios de la misma dimensión, tenemos $\mathbb R^n\oplus\mathbb R^m=\mathbb R^{n+m}$$\mathbb R^n\otimes\mathbb R^m=\mathbb R^{nm}$. Estas operaciones son asociativas, conmutativas y distributivas.
Estas operaciones no hacer $(E,\oplus,\otimes)$ en un anillo, pero que puede ser remediado. Es una manera de dejar formalmente $n$ sobre todos los de $\mathbb Z$ y definir las cosas de la misma manera. Si llamamos a esta nueva colección de espacios de $F$, $(F,\oplus,\otimes)$ es (en una manera obvia) anillo-isomoprhic a $(\mathbb Z,+,\times)$. A continuación, los objetos, como la $\mathbb R^{-7}\in F$ no tiene ningún otro significado que el de ser en algún tipo de una extensión del conjunto de Euclídea espacios. Yo no veo ninguna manera obvia de hacer de la geometría en un objeto de $F$, especialmente en una forma que se incluyen aquellas fórmulas de volumen.
En este caso, la construcción lleva a un relativamente trivial objeto (el anillo de los enteros), pero al menos da alguna forma de asociar un significado a la negativa espacios dimensionales. Es decir, $\mathbb R^{-4}$ es la cosa (no es un espacio vectorial!) que satisface $\mathbb R^{-4}\oplus\mathbb R^4=0$ (algo así como la suma directa de espacios vectoriales), donde $0=\mathbb R^0$ es el cero del espacio. Dimensión negativa anula positiva de la dimensión de lo que eso significa.
(Esta respuesta fue inspirado por el concepto de representación anillo, una manera de formar un anillo de espacios vectoriales de manera que es útil en la teoría de la representación.)
Nota al margen: $1/\Gamma(1+n/2)=0$$n\in\{-2,-6,-10,-14,\dots\}$. Esto sería realmente extraño comportamiento de algo que se asemeja a la idea geométrica de volumen.
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