Evaluar $\displaystyle\int_0^\pi \frac{x}{1+\sin^2x} \ dx$

Question

¿Cómo se puede evaluar

$$\int_0^\pi \frac{x}{1+\sin^2x} \ dx\ ?$$

Answer 1

En primer lugar, hacer la sustitución $x\to \pi - x$ conseguir $$\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin^2 x} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx $$ Ahora, interpretar la integral de la derecha como el área bajo una curva polar: set $r(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}}$. La conversión de este a coordenadas Cartesianas da la elipse $x^2 + 2y^2 = 1$. El área bajo la elipse como el ángulo varía de $0$$\pi$$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$. Así, $$\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} r^2 \, d\theta = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \implies \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx= \frac{\pi}{\sqrt{2}}$$ Therefore, $$\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin^2 x} \, dx = \frac{\pi^2}{2\sqrt{2}}$$

Answer 2

deje $x = -u +\dfrac{\pi}{2}$,$\sin^2x = \sin^2(-u +\frac{\pi}{2}) = \cos^2u$, y también se $dx = -du$. Así:

$I = \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\frac{\pi}{2} - u}{1 + \cos^2u}du = \pi\cdot \displaystyle \int_{0}^\frac{\pi}{2} \dfrac{1}{1 + \cos^2u}du$.

En este punto se puede introducir a $t = \tan\left(\dfrac{u}{2}\right)$, y continuar la fracción de descomposición para terminarlo.