Probando el entero impar de alimentación de la función es inyectiva sobre los reales

Question

Estoy tomando Álgebra Abstracta y en la primera asignación se nos pidió para determinar que los valores de $n$ hacer la siguiente función inyectiva.

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$x \mapsto x^n$ $| n \in \mathbb{N^+}$

Obviamente el caso de que $n$ es muy fácil de refutar. Para el extraño caso he tenido un momento más difícil. Yo entiendo que puedo usar el hecho de que el extraño funciones son continuas y porque su derivada es positiva en todas partes (además de 0 que es tratado por separado), la función es creciente por lo $a > b \implies f(a) > f(b)$, lo que demostraría que era inyectiva. Sin embargo, yo creo que esta no es la manera correcta de ir sobre él, como no tenemos, y no cubre la continuidad y ese tipo de cosas. Por no hablar de este método parece fuera de lugar con el resto de problemas en la tarea que todos lidiamos con las relaciones de equivalencia y el conjunto general de la teoría de las preguntas.

Tan sólo quiero saber, ¿hay una manera más sencilla de probar el extraño poder de la función es inyectiva que no uso mucho Análisis Real como mucho?

Answer 1

Tomar cualquier $x,y$. Si $x,y$ tienen signos diferentes, también lo hacen sus diferentes poderes, por lo que son distintas. Así, podemos asumir que ellos tienen el mismo signo, wlog ambos son positivos. A continuación, $$x^{2n+1}-y^{2n+1}=(x-y)\left(\sum_{j=0}^{2n}x^jy^{2n-j}\right)$$ Y el segundo paréntesis es una expresión positiva, por lo que la expresión es cero iff $x=y$.

Answer 2

Una forma de saber el uso de primaria cálculo es este. El caso de $x\mapsto x$ es trivialmente inyectiva. Supongamos $n$ es un entero positivo. Entonces $$ \left(x^{2n + 1}\right)' = (2n + 1)x^{2n} > 0 \qquad {x \not= 0}.$$ Por cálculo, la función de $x\mapsto x^{2n+1}$ es estrictamente creciente y por lo tanto es de 1-1.

Answer 3

He aquí una prueba algebraica. Supongamos $a^{2m+1} = b^{2m+1}$. A continuación,$(a/b)^{2m+1} = 1$, lo que reduce el problema a mostrar que la $1$ es el único número real $z$$z^{2m+1} = 1$. El resto se puede hacer con básicos de álgebra abstracta. En primer lugar, una bien conocida y fácil de probar) lema sobre el número de raíces de un polinomio sobre un campo muestra que hay en la mayoría de las $2m+1$ raíces a$x^{2m+1} -1 = 0$$\mathbb{C}$. Podemos enumerar exactamente $2m+1$ diferentes $(2m+1)$st raíces de la unidad (como el complejo de poderes de $e$) y compruebe que sólo uno de ellos es real, es decir,$z = 1$. Por lo tanto $z^{2m+1}$ es inyectiva sobre los reales.