El título habla por sí mismo. ¿Existe un cuatro dimensiones suave colector en el que se admite un no-fuga continua de campo vectorial (Euler característica cero), pero no un marco global (no parallelizable)? He leído acerca de las cinco dimensiones de ejemplos, pero estoy interesado sólo en dimensión cuatro. No topologist - por favor, tan simple como sea posible. Referencias preferido. Gracias.
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Khushi
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Deje $L$ ser un complejo paquete de más de $T^2 = S^1\times S^1$ tal que $\langle c_1(L), [T^2]\rangle = 1$; una línea de paquete existe porque $c_1 : \operatorname{Vect}^1_{\mathbb{C}}(T^2) \to H^2(T^2; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ es un isomorfismo. A continuación, defina $M$ a ser el espacio total de la projectivised bundle $\mathbb{P}(L\oplus\varepsilon_{\mathbb{C}}^1)$. Tenga en cuenta que $\pi : M \to T^2$ $\mathbb{CP}^1$- bundle. Podemos levantar los dos linealmente independiente de vectores de los campos en $T^2$ $M$a través de una Ehresmann conexión, por lo $M$ admite al menos dos linealmente independiente de vectores de los campos; en particular, $\chi(M) = 0$.
Como $L$ es un subconjunto abierto de $M$, $M$ contiene la imagen de la sección cero de $L$ como un compacto submanifold, llame a $E$. Como $\langle e(L), [T^2]\rangle = \langle c_1(L), [T^2]\rangle = 1$, $E$ se ha auto-intersección $1$; en concreto, se trata de mod $2$ intersección de número de $E\cdot E$$1$. Por otro lado, el mod $2$ intersección número también se da por $E\cdot E = \langle \alpha\cup\alpha, [T^2]\rangle$ donde $\alpha \in H^2(M; \mathbb{Z}_2)$ es la de Poincaré doble de la $\mathbb{Z}_2$-clase fundamental de $E$. Usando el lenguaje de Steenrod plazas y Wu clases, uno puede mostrar que $x\cup x = (w_2 + w_1\cup w_1)\cup x$ todos los $x \in H^2(M; \mathbb{Z}_2)$; véase mi respuesta aquí , por ejemplo. Como $M$ es orientable, vemos que $$1 = E\cdot E = \langle\alpha\cup\alpha, [T^2]\rangle = \langle w_2\cup\alpha, [T^2]\rangle,$$ so $w_2 \neq 0$ (i.e. $M$ is not spin). As such, $M$ cannot admit three linearly independent vector fields; if it did, then $TM \cong \ell\oplus\varepsilon_{\mathbb{R}}^3$ for some real line bundle $\ell$ and hence $w_2 = 0$.
