¿Evidencias en Hartshorne ' conjetura de s? ¿Referencias?

Question

Famosa conjetura de Hartshorne en paquetes de vectores dicen que cualquier paquete del vector fila $2$ sobre un espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$ $n\geq 7$ se divide en la suma directa de dos paquetes de la línea.

Así que mis preguntas son las siguientes:

1) ¿Qué es una evidencia para esta conjetura?

¿por qué 2) es la condición en $n\geq 7$, pero no otros números?

¿3) cualquier encuesta o referencia sobre esta conjetura?

Answer 1

Creo que el original de la declaración de Hartshorne fue que, para suavizar $ X \subset \mathbb{P}^N$$ 3/2 \dim(X) > N$, $X$ es una completa intersección (a recuperar su estado de cuenta de esta conjetura con la famosa construcción de Serre). Siendo un completo intersección implica que $ H^0(\mathbb{P}^N, O_{\mathbb{P}^N}(k)) \rightarrow H^0(X,O_X(k))$ es surjective para todos los $k$. Una variedad con un surjective mapa fija de $k$ se llama $k$-normal.

Con surprisng nuevo "topologico-geométrico" métodos, Fyodor Zak resultó en el inicio de los años 80 que si $3/2\dim(X) + 1 > N$ $X$ $1$- normal. Demostró además que para $ 3/2\dim(X) + 1 = N$ existe $4$ variedades que no se $1$-normal, a saber : la 2ª Veronese incorporación de la $\mathbb{P}^2$ proyectada hacia abajo en $\mathbb{P}^4$, el Segre y la incorporación de la $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ proyectada hacia abajo en $\mathbb{P}^7$, la Desplumadora de la incrustación de la grassmannian de $\mathbb{C}^2 \subset \mathbb{C}^6$ proyectada hacia abajo en $ \mathbb{P}^{13}$ y el cerrado de la órbita de $E_6$ $\mathbb{P}^{26}$ proyectada hacia abajo en $\mathbb{P}^{25}$. Usted puede leer su maravilloso libro "Tangentes y Secantes de Variedades Algebraicas" para conseguir completar las pruebas de estos hechos.

Si restringimos al caso de variedades definidas por las ecuaciones cuadráticas (que es un poco limitated pero que sigue siendo interesante como un paso hacia una respuesta más completa), entonces Hartshorne conjecure ha sido demostrado en la que el establecimiento por Ionescu y Russo (ver http://arxiv.org/abs/0909.2763). Tenga en cuenta también que Hartshorne conjetura completamente falla por otros tóricas proyectiva Fano variedades, ver http://arxiv.org/abs/1005.5546).

Answer 2

Una observación similar a la Hailong Dao el comentario de debajo de su respuesta:

Deje $E$ ser un vector paquete en la $\mathbb{P}^n$. Un cohomological criterio (Horrocks criterio) los estados que $E$ divisiones si y sólo si $H^i(\mathbb{P}^n, E(t))=0$ $0 < i < n$ y todos los $t$.

Hay un poco menos conocido criterio, debido a Evans y Griffiths, que dice que solo necesitamos comprobar la desaparición de la $H^i(\mathbb{P}^n, E(t))$ $0 < i < \min(n, rank(E))$ y todos los $t$.

En particular, en el rango de los dos caso, la conjetura se reduce a la simple afirmación de que $H^1(\mathbb{P}^n, E) = 0$. Desde $E$ es trivial en cada "estándar abierto" $U_i$, podemos describir cohomology clases en esta $H^1$ grupo utiliza explícita Cech cocycles en esta cubierta.

En resumen, es sorprendente lo poco que sabemos acerca de como una simple situación!

Answer 3

Esta respuesta de la mina habla brevemente de Hartshorne conjetura y algunas preguntas relacionadas con el suave subvariedades de $\mathbb P^n$ de los pequeños codimensions. Se vincula a Hartshorne del documento original, que creo que es la mejor fuente para responder a tus preguntas 1) y 2).

Como para 3), también puede buscar en Zolbani de la tesis, que tiene muchos más detalles, a continuación, su investigación de las declaraciones mencionadas por Steven.

(Eso es todo lo que sé, yo estaría muy interesado en lo que hay de nuevo en Hartshorne de la conjetura).

EDIT: Hoy, mientras que la respuesta a otra pregunta me acordé de una línea de investigación que puede ser visto como evidencia de Hartshorne de la conjetura: suave subvariedades de pequeñas codimension se comportan cohomologically como completar las intersecciones (esto fue discutido en la Sección 2 de Hartshorne original en papel). Un papel por Lyubeznik, especialmente la Sección 11, tiene muchos de esos resultados, incluso para la característica positiva de los casos. También incluye muchas referencias pertinentes.