Prueba de la regla del producto. Derivados.

Question

Se me ha pedido la prueba de la regla del producto. Yo estoy bien con eso, mi prueba fue aceptada por completo. Sin embargo, para mí, personalmente, el último paso parece no ser del todo incorrecta, pero, digamos, "intuitiva" o "inductivo" en cierta medida. No confundir a la gente, va a mencionar algunas de las fatídico puntos de mi razonamiento:

En algún momento he demostrado que: $$f(x + \delta) = A + B \times \delta + o(E(\delta))$$ donde:

1. $o(E(\delta))$ significa "de menos el orden de los $\delta$", es decir, $\lim_{\delta \to 0}\frac{E(\delta)}{\delta} = 0$;
2. $A = f(x)$;
3. $B = f'(x)$.

Después de que me tomó tanto $f(x + \delta)$ $g(x + \delta)$ supone que para ser diferenciable en el punto de $x$. Por lo tanto: $$f(x + \delta) \times g(x + \delta) = [f(x) + f'(x)\delta + o(E(\delta))] \times [g(x) + g'(x)\delta + o(E(\delta))]$$ $$= f(x)g(x) + [f(x)g'(x) + g(x)f'(x)] \times \delta + \biggl( [f(x) + f'(x)\delta]o(E(\delta)) + [g(x) + g'(x)\delta]o(E(\delta)) + [o(E(\delta))]^2\biggr)$$

---

AQUÍ VA MI PREGUNTA:

Me he dado cuenta de que la última ecuación puede ser reformulada como: $$A = f(x)g(x)$$ $$B = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$$ $$o(E(\delta)) = \biggl( [f(x) + f'(x)\delta]o(E(\delta)) + [g(x) + g'(x)\delta]o(E(\delta)) + [o(E(\delta))]^2\biggr)$$

La pregunta es: ¿no debería la prueba de alguna manera (no tengo idea de cómo, en realidad) que el modelo anterior es aplicable aquí? Último paso parece ser más de ciego de adivinar en lugar de una innegable la deducción lógica...

Answer 1

Yo prefiero escribir $$ f(x+\delta)=f(x)+\delta f'(x)+\delta\varphi(\delta) $$ donde la condición de $\lim_{\delta\to0}\varphi(\delta)=0$ es equivalente a $f$ ser diferenciable en a $x$, derivado $f'(x)$. Más precisamente: escribir, para $\delta\ne0$, $$ \varphi(\delta)=\frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}-un $$ A continuación, $f$ es diferenciable en a $x$, derivado $a$ si y sólo si $\lim_{\delta\to0}\varphi(\delta)=0$.

No es tan diferente a la de su notación, en realidad, pero menos confuso, en mi opinión.

Supongamos que el mismo para $g$, por lo que $$ g(x+\delta)=g(x)+\delta g'(x)+\delta\psi(\delta) $$ y $\lim_{\delta\to0}\psi(\delta)=0$.

Ahora tenemos \begin{align} f(x+\delta)g(x+\delta) &=\bigl(f(x)+\delta f'(x)+\delta\varphi(\delta)\bigr) \bigl(g(x)+\delta g'(x)+\delta\psi(\delta)\bigr) \\ &=f(x)g(x)+\delta\bigl(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\bigr) \\ &+\delta\bigl( \begin{aligned}[t] &\delta f'(x)g'(x)+ \varphi(\delta)g(x)+ \delta f'(x)\psi(\delta)+{}\\ &\delta\varphi(\delta)g'(x)+ f(x)\psi(\delta)+\delta\varphi(\delta)\psi(\delta)\bigr) \end{aligned} \\ y=f(x)g(x)+\delta\bigl(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\bigr) + \delta\eta(\delta) \end{align} y $\lim_{\delta\to0}\eta(\delta)=0$, lo que demuestra la declaración.