El polinomio $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n$ tiene un cero en $[0,1]$ en una condición dada

Question

Demostrar que el polinomio $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n$ tiene un cero en $[0,1]$ cuando se da eso , $$ \frac{a_0}{1.2}+\frac{a_1}{2.3}+\cdots+\frac{a_n}{(n+1)(n+2)}=0.$$

En primer lugar se considera la función , $\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{1.2}x^2+\frac{a_1}{2.3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{(n+1)(n+2)}x^{n+2}$. A continuación, $f(0)=0$$f(1)=0$. Entonces por el teorema de Rolle , $\exists$ $y\in (0,1)$ tal que $f'(y)=0$ lo que da , $\displaystyle a_0y+\frac{a_1}{2}y^2+\cdots +\frac{a_n}{n+1}y^{n+1}=0$.

El próximo considerar , $\displaystyle g(z)=a_0z+\frac{a_1}{2}z^2+\cdots +\frac{a_n}{n+1}z^{n+1}$. A continuación, $g(0)=0$$g(y)=0$. Así, por el teorema de Rolle , $\exists$ $w\in (0,y)\subset (0,1)$ tal que $g'(w)=p(w)=0.$ por lo tanto la prueba está completa.

Es esta la prueba es correcta ? Creo que es correcto. Pero yo estoy buscando una que otra prueba de lo que puedo evitar dos veces el examen de las funciones tales como la $f$$g$.

Answer 1

La prueba es correcta (pero tenga en cuenta que es Rolle, no Rodar). También puede utilizar el hecho de que $$\int_0^1\int_0^x p(t)dt=\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{(k+1)(k+2)}=0$$

Ahora, si usted supone que $p(t)\not = 0$$[0,1]$, ($p$ es continua), existe $m$ tal que $p(t)\geq m>0$ todos los $t\in [0,1]$ (o $p(t)\leq -m<0$), y esto demuestra que la integral múltiple es $\geq m/2$, una contradicción.

EDIT: Con sólo uno de la integración:

Como $\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}$, obtenemos $$\int_0^1(1-t)p(t)dt=\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}-\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k+2} =0$$ y terminamos con facilidad.