Preliminar, hagamos un ligero cambio en la notación: voy a indicar con $k \in \mathbb{Z}$ el tiempo discreto, con $K$ $k$ presente en la suma y de la época (si es que existe) con $N \in \mathbb{N}_0$.
En primer lugar, refresquemos los siguientes conceptos. Vamos $\theta \in \mathbb{R}_+$, $k \in \mathbb{Z}$, $i = \sqrt{-1}$, y considere los siguientes (complejo valorado) función: $f(\theta) = e^{i \theta k}$. Es fácil comprobar que esta función es periódica con período de $2\pi$, de hecho
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\begin{align}
f(\theta + 2\pi) = e^{i (\theta +2\pi) k} = e^{i \theta k} e^{i 2\pi k} = e^{i\theta k} = f(\theta)
\end{align}
$
desde $e^{i 2 \pi k}=1$. Ahora, considere en su lugar (con el mismo significado de los símbolos) los siguientes (complejo valorado) función
$
\begin{align}
f(k) = e^{i \theta k}
\end{align}
$
Es periódico? Para las funciones de tiempo, el período debe ser un número entero, ya que el argumento de la función debe ser un número entero (el dominio de $f(k)$$\mathbb{Z}$). Un tiempo discreto de función no se puede, por ejemplo, periódica con período de $\pi$. Por lo tanto, debemos encontrar, si existe un entero $N \in \mathbb{N}_0$ tales como que $f(k+N) = f(k)$. Repitiendo el mismo razonamiento anterior,
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\begin{align}
f(k+N) = e^{i\theta(k+N)} = e^{i \theta k} e^{i \theta N}
\end{align}
$
Ahora, $e^{i \theta N}$ es igual a $1$ si y sólo si $\ \theta N = 2 \pi n$,$n \in \mathbb{N}$, lo que significa que:
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\begin{align}
(*) \quad \theta = 2 \pi \frac{n}{N}, \quad n \in \mathbb{N}, N \in \mathbb{N}_0
\end{align}
$
El concepto clave es la siguiente
La función de $e^{i \theta k}$ es periódica (con respecto a $k \in \mathbb{Z}$) si y
sólo si la pulsación $\theta \in \mathbb{R}_+$ satisface $(*)$, es decir, la pulsación es racional múltiples de $\pi$.
Ahora, de vuelta en su pregunta. Su ejemplo es, lamentablemente, mal redactada, ya que el periodo de tiempo discreto funciones/procesos pueden no ser $2 \pi$ ("la última parte es periódica con período de $2 \pi$" es, estrictamente hablando, la incorrecta): como se explicó anteriormente, sólo enteros están permitidos. De hecho, desde el $k$ es utilizado como un (entero) índice en el formalismo $X_k$, lo que significa, por ejemplo, $X_{\pi}$ ? Existe sólo cosas como $X_1, X_2, X_3, \dots$, debido a que su proceso es discretos de tiempo (esta es la razón por la que me pidió y, como es evidente, es un hecho crucial).
Por suerte, esto significa que es muy fácil probar que, en general, $X(k)$ (es decir, el proceso visto como una función de tiempo discreto) no es periódica, ya que la phasors son, en general, no periódica (con respecto a $k$). Dudo, sin embargo, su profesor se refería a esto: él probablemente se estaba refiriendo a algo a lo largo de las líneas de $f(\theta)$ $2 \pi$- periódico, es decir, ver el proceso como una función del tiempo, pero de las pulsaciones $\lambda_j$.
En este punto, es inútil describir en detalle el hecho acerca de la distribución espectral. Por lo tanto, me limitaré a dar un boceto. El uso de la Wiener-Khinchin teorema, sabemos que la densidad espectral de un proceso aleatorio es igual a la transformada de Fourier de la ACF (Función de Autocorrelación del proceso. Pero la ACF de una función periódica es periódica (y con el mismo período), por lo que la información sobre la periodicidad se "llevó" la densidad espectral.
Esto es igual que lo que sucede de manera determinista. Vamos $f(t)$, $t \in \mathbb{R}$, ser una función de la (continua); tiempo de la transformada de Fourier de $f(t)$, que podemos denotar con $F(\omega)$ donde $\omega \in \mathbb{R}$ es la pulsación, contiene toda la información presente en $f(t)$. En definitiva, se trata simplemente de la hora habitual de dominio - dominio de la frecuencia de la dualidad.
Ejemplo: Este es un ejemplo trivial demostrar que el proceso es, en general, no periódica. Comenzando con
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\begin{align}
X_k = \sum_{j=-K}^{K} A_j e^{i \lambda_j k}
\end{align}
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Ahora, elija $\lambda_j = \lambda \ \forall j$ (de una sola frecuencia del proceso), de la que
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\begin{align}
X_k = \sum_{j=-K}^{K} A_j e^{i \lambda k} = e^{i \lambda k} \underbrace{\sum_{j=-K}^{K} A_j}_{=A} = A e^{i \lambda k}
\end{align}
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La periodicidad de las $X_k$ depende de la periodicidad de los fasores $e^{i \lambda k}$, que depende de la $\lambda$, recuerde que la condición de $(*)$. Por lo tanto, podemos concluir fácilmente que $X_k$ es, en general, no periódica.
