Son estas declaraciones de mi profesor acerca de la periodicidad de los armónicos en los procesos de análisis de series de tiempo correcto?

Question

Suponga $X_t$ es un armónico proceso estocástico, es decir,, $$X_t = \sum_{j=-k}^k A_j \exp(i \lambda_j t)$$ where the frequencies $\ lambda_j$ are given and $A_j$ are uncorrelated random variables with zero mean and variance $\sigma_j^2$.

A continuación, la distribución espectral $F$ de este proceso satisface $$F(\lambda) = \sum_{\lambda \leq \lambda_j} \sigma_j^2,$$ i.e., it has finitely many jumps (at $\lambda_j$) y es constante en otros lugares.

Mi profesor afirma ahora que los caminos de este proceso son periódicas (en un sentido determinista), es decir, $X_t=X_{t+T}$.s. para algunos $T$ y todos los $t$.

Creo que esto es incorrecto. ¿Qué acerca de la armónica proceso $$X_t=A_1 \exp(i \frac{\pi}{2} t) + A_2 \exp(it)$$ which is harmonic in the sense above. The first part is periodic with period $4$, the last part with period $2\pi$. Por lo que la suma no es periódico, ¿o no? Donde está mi error? Ver también este post.

Pero se pone peor:

Mi profesor afirma que cada proceso con una distribución espectral que ha finitly muchos saltos y es constante en otros lugares, ha periódico de caminos (en un determinstic sentido).

Esto sólo puede ser la conclusión a la que sus anteriores argumentos, si cualquier proceso de este tipo, de hecho, es un proceso armónico. Pero, ¿por qué es este el caso? La distribución espectral no, en general, determinar el proceso correspondiente de forma exclusiva, no?

Answer 1

Preliminar, hagamos un ligero cambio en la notación: voy a indicar con $k \in \mathbb{Z}$ el tiempo discreto, con $K$ $k$ presente en la suma y de la época (si es que existe) con $N \in \mathbb{N}_0$.

En primer lugar, refresquemos los siguientes conceptos. Vamos $\theta \in \mathbb{R}_+$, $k \in \mathbb{Z}$, $i = \sqrt{-1}$, y considere los siguientes (complejo valorado) función: $f(\theta) = e^{i \theta k}$. Es fácil comprobar que esta función es periódica con período de $2\pi$, de hecho

$\begin{align} f(\theta + 2\pi) = e^{i (\theta +2\pi) k} = e^{i \theta k} e^{i 2\pi k} = e^{i\theta k} = f(\theta) \end{align}$

desde $e^{i 2 \pi k}=1$. Ahora, considere en su lugar (con el mismo significado de los símbolos) los siguientes (complejo valorado) función

$\begin{align} f(k) = e^{i \theta k} \end{align}$

Es periódico? Para las funciones de tiempo, el período debe ser un número entero, ya que el argumento de la función debe ser un número entero (el dominio de $f(k)$$\mathbb{Z}$). Un tiempo discreto de función no se puede, por ejemplo, periódica con período de $\pi$. Por lo tanto, debemos encontrar, si existe un entero $N \in \mathbb{N}_0$ tales como que $f(k+N) = f(k)$. Repitiendo el mismo razonamiento anterior,

$\begin{align} f(k+N) = e^{i\theta(k+N)} = e^{i \theta k} e^{i \theta N} \end{align}$

Ahora, $e^{i \theta N}$ es igual a $1$ si y sólo si $\ \theta N = 2 \pi n$,$n \in \mathbb{N}$, lo que significa que:

$\begin{align} (*) \quad \theta = 2 \pi \frac{n}{N}, \quad n \in \mathbb{N}, N \in \mathbb{N}_0 \end{align}$

El concepto clave es la siguiente

La función de $e^{i \theta k}$ es periódica (con respecto a $k \in \mathbb{Z}$) si y sólo si la pulsación $\theta \in \mathbb{R}_+$ satisface $(*)$, es decir, la pulsación es racional múltiples de $\pi$.

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Ahora, de vuelta en su pregunta. Su ejemplo es, lamentablemente, mal redactada, ya que el periodo de tiempo discreto funciones/procesos pueden no ser $2 \pi$ ("la última parte es periódica con período de $2 \pi$" es, estrictamente hablando, la incorrecta): como se explicó anteriormente, sólo enteros están permitidos. De hecho, desde el $k$ es utilizado como un (entero) índice en el formalismo $X_k$, lo que significa, por ejemplo, $X_{\pi}$ ? Existe sólo cosas como $X_1, X_2, X_3, \dots$, debido a que su proceso es discretos de tiempo (esta es la razón por la que me pidió y, como es evidente, es un hecho crucial).

Por suerte, esto significa que es muy fácil probar que, en general, $X(k)$ (es decir, el proceso visto como una función de tiempo discreto) no es periódica, ya que la phasors son, en general, no periódica (con respecto a $k$). Dudo, sin embargo, su profesor se refería a esto: él probablemente se estaba refiriendo a algo a lo largo de las líneas de $f(\theta)$ $2 \pi$- periódico, es decir, ver el proceso como una función del tiempo, pero de las pulsaciones $\lambda_j$.

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En este punto, es inútil describir en detalle el hecho acerca de la distribución espectral. Por lo tanto, me limitaré a dar un boceto. El uso de la Wiener-Khinchin teorema, sabemos que la densidad espectral de un proceso aleatorio es igual a la transformada de Fourier de la ACF (Función de Autocorrelación del proceso. Pero la ACF de una función periódica es periódica (y con el mismo período), por lo que la información sobre la periodicidad se "llevó" la densidad espectral.

Esto es igual que lo que sucede de manera determinista. Vamos $f(t)$, $t \in \mathbb{R}$, ser una función de la (continua); tiempo de la transformada de Fourier de $f(t)$, que podemos denotar con $F(\omega)$ donde $\omega \in \mathbb{R}$ es la pulsación, contiene toda la información presente en $f(t)$. En definitiva, se trata simplemente de la hora habitual de dominio - dominio de la frecuencia de la dualidad.

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Ejemplo: Este es un ejemplo trivial demostrar que el proceso es, en general, no periódica. Comenzando con

$\begin{align} X_k = \sum_{j=-K}^{K} A_j e^{i \lambda_j k} \end{align}$

Ahora, elija $\lambda_j = \lambda \ \forall j$ (de una sola frecuencia del proceso), de la que

$\begin{align} X_k = \sum_{j=-K}^{K} A_j e^{i \lambda k} = e^{i \lambda k} \underbrace{\sum_{j=-K}^{K} A_j}_{=A} = A e^{i \lambda k} \end{align}$

La periodicidad de las $X_k$ depende de la periodicidad de los fasores $e^{i \lambda k}$, que depende de la $\lambda$, recuerde que la condición de $(*)$. Por lo tanto, podemos concluir fácilmente que $X_k$ es, en general, no periódica.

Answer 2

Es posible que tu profesor es asumiendo que todas las frecuencias en la suma son múltiplos de uno, dado que, la frecuencia fundamental y se olvidó de estado de esta afirmación. Si son todos los múltiplos, entonces, de hecho, casi todos los caminos son periódicas.

Pero incluso si no están agrupados, las rutas de acceso son "cuasi-periódica", en el sentido de Harald Bohr (Niels Bohr, el hermano de un famoso matemático en su día): existen infinidad de "cuasi-períodos de" T en el sentido de que la partícula vuelve a dentro de epsilon de su valor después de T segundos. Hay sutiles tecnicismos en las definiciones aquí, yo estoy siendo deliberadamente vaga. Ver la colección de Obras de Norbert Wiener, vol. 2, los comentarios sobre sus artículos, páginas 102,111, 181, 325, 458. Algunos de los ingenieros y los físicos han conocido suelto usar la palabra "periódico" cuando lo que quieren decir es "cuasi-periódicos", y que el uso de la palabra "cuasi-periódicas" para significar algo aún más vaga, he visto un libro de texto de ingeniería llamar a la función $\sin x \over x$ "cuasi-periódica". Bien!