Ángulo de preservar lineal mapas

Question

En Spivak del Cálculo De los Colectores, en la parte (c) de la pregunta 1 a 8, le pregunta a la siguiente pregunta: ¿Qué son todas ángulo de preservar $T:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$?

Yo ya demostró que si $T$ es diagonalizable con una base $\{x_1,\ldots,x_n\}$ donde$Tx_i = \lambda_i$, $T$ es el ángulo de la preservación de $\iff$ $|\lambda_i| = |\lambda_j|$ para todos los $i,j$ (esta fue la parte (b)). Tal vez esto puede ser usado?

Gracias.

Answer 1

Tomar cualquier base ortonormales $\mathbf e_1,\cdots,\mathbf e_n$. Estos se asignan a un conjunto $T \mathbf e_j = \mathbf f_j$, que es también ortogonal (y se supone que no sea cero). Por lo tanto, en nuestra base ortonormales, $T$ es una matriz con columnas $\mathbf f_j$ que son ortogonales. $D=T^\dagger T$ es una matriz diagonal con la entrada$(jj)$$\lVert \mathbf f_j\rVert^2$. Además, teniendo en cuenta el ángulo entre el $\mathbf e_1$ $\mathbf e_1+\mathbf e_k$ da

$$\cos \theta = 1/\sqrt 2 = \frac{\mathbf e_1^\dagger D (\mathbf e_1+\mathbf e_k)}{\sqrt{\mathbf e_1^\dagger D \mathbf e_1\times (\mathbf e_1+\mathbf e_k)^\dagger D (\mathbf e_1+\mathbf e_k)}} = \frac{\lVert \mathbf f_1\rVert^2}{\lVert \mathbf f_1\rVert\sqrt{\lVert \mathbf f_1\rVert^2+\lVert \mathbf f_k\rVert^2}}$$ y, por tanto, $$\lVert \mathbf f_k\rVert = \lVert \mathbf f_1\rVert$$

Por lo tanto, $D=\lambda I$ es un múltiple positivo de la matriz de identidad. En consecuencia, $\lambda^{-1/2}T$ es una matriz ortogonal.

Por lo tanto, ya es claro que tales matrices siempre preservan ángulos, hemos terminado. La respuesta es: no-cero múltiplos de matrices ortogonales.

Nota: Mientras que el $T$ no necesita ser diagonalizable, $T^\dagger T$ siempre. (Es un real, simétrica matriz).