Cálculo de superficies y la regla de la cadena

Question

Definir el gradiente superficial operador sobre cualquier superficie $S$ $$\nabla_S f = \nabla f - \nabla f \cdot \nu_S \nu_S$$ donde $\nu_S$ es el exterior de la unidad normal en $S$.

Deje $T:S_1 \to S_2$ $C^2$ diffeomorphism entre hypersurfaces.

Considere la posibilidad de $v:S_2 \to \mathbb{R}$ una función. Es cierto que $$\nabla_{S_1}(v \circ T(x)) = (\mathbf{D}T)^T(\nabla_{S_2}v)|_{T(x)}?$$ es decir, la regla de la cadena? Alguien puede probarlo?

Aquí $\mathbf{D}T$ denota el Jacobiano de $T$ wrt. la base ortogonal del espacio de la tangente.

Answer 1

Sí , es cierto. Observar la relación con el total de productos derivados $ v'(x)(y) = \nabla v(x).y $ $ T'(x)(y) = DT(x)y $ . Ahora tienes la regla de la cadena como $$ (v\circ T)'(x) = (v'(T(x))\circ T'(x) $$ Thus for all $ y $ we have $$ \nabla (v\circ T)(x).y = (v\circ T)'(x)(y) = v'(T(x))(T'(x)(y)) = \nabla v(T(x)).DT(x)y \\= (DT)^T\nabla v(T(x)).y $$ Thus $ \nabla(v\circ T)(x) = (DT)^T\nabla v(T(x)) $. Now we observe that $ DT \nu_{S_1} = \nu_{S_2} $, hence we have $$ \nabla(v\circ T(x)).\nu_{S_1} \nu_{S_1} = (DT)^T\nabla v(T(x)).\nu_{S_1}\nu_{S_1} = (\nabla v(T(x).DT\nu_{S_1})\nu_{S_1} = \nabla v(T(x)).\nu_{S_2} DT^T\nu_{S_2} $$ Now as $ \nabla v(T(x)).\nu_{S_2} $ is scalar hence $\nabla(v\circ T(x)).\nu_{S_1}\nu_{S_1} = (DT)^T(\nabla v(T(x)).\nu_{S_2}\nu_{S_2}) $ Mus usted encontrar la combinación de todos los $$ \nabla_{S_1}(v\circ T(x)) = (DT)^T(\nabla_{S_2}v(T(x))) $$