Demostrando que las raíces de $z^n+nz+1=0$ se encuentra dentro del círculo $|z|=1+\frac{2}{n-1}$

Question

He estado haciendo algunos problemas de Álgebra y Geometría de Alan Beardon pero parece que no puedo hacer este:

Supongamos que para $n\geq2$ , demuestran que las raíces de $z^n+nz+1=0$ se encuentra en el interior el círculo $|z|=1+\frac{2}{n-1}$

La pregunta es similar a esta un . No consigo aplicar el razonamiento de la respuesta a esa pregunta a ésta, aunque realmente son bastante similares. En mis intentos he tratado de usar la prueba por contradicción y así lo asumo: $$ z^n+nz+1=0 \; \land \; |z|>1+\frac{2}{n-1}=\frac{n+1}{n-1}$$ y luego traté de llegar a una contracción, aunque parece que no puedo. Al hilo de la pregunta similar he intentado aplicar la desigualdad de Bernoulli (ya que $|z|\in\mathbb{R}$ y $n\geq2$ ) : $$ |z^n|=(1+(|z|-1))^n>1+(|z|-1)n $$ o potencialmente utilizando la desigualdad del triángulo: $$ z^n=-nz-1 \rightarrow|z^n|=|nz+1|\leq n|z|+1 $$ pero no ha habido suerte hasta ahora.

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Cualquier pista sobre qué dirección tomar sería genial, ¡parece que estoy dando vueltas en círculos!

Answer 1

Suponiendo que $z=\rho e^{i\theta}$ tenemos:

$$ \left\| z^n + n z\right\|^2 = \rho^{2n}+n^2 \rho^2 + 2n \rho^{n+1}\cos((n-1)\theta)\tag{1} $$ por lo tanto: $$ \left\| z^n + n z\right\|^2 \geq \rho^{2n}+n^2 \rho^2-2n\rho^{n+1}=(\rho^n-n\rho)^2.\tag{2}$$ Podemos observar que $g(\rho)=\rho^n-n\rho$ es una función convexa calculando su segunda derivada. La única raíz positiva de tal función está en $\rho=n^{\frac{1}{n-1}}$ y en tal punto tenemos $g'(\rho)=n^2-n$ . Por convexidad tenemos que, si

$$\|z\|> n^{\frac{1}{n-1}}+\frac{1}{n^2-n},\tag{3}$$ $z$ no puede ser una raíz del polinomio dado.

Por desgracia, si $n\geq 4$ este límite es ligeramente más débil que el límite original $1+\frac{2}{n-1}$ .

No es sorprendente, ya que la otra respuesta muestra claramente que el límite original no aguantar.

Answer 2

Lo he ejecutado en Mathematica :

Abs[z /. NSolve[z^5 + 5 z + 1 == 0, z]]

y obtuve esta respuesta:

{1.46103, 1.46103, 0.199936, 1.53071, 1.53071}

por lo que dos de las raíces se encuentran fuera del disco $|z|\leq 1.53$ por lo que no puede estar dentro del disco $|z|<1+{2\over 5-1}=1.5$

Por lo tanto, parece que lo que has pedido que se demuestre no es cierto.

Añadido:

Ahora que estamos convencidos de que la formulación original es errónea, podría darse el caso de que hubiera un error tipográfico tonto aquí, y en lugar de $z^n+nz+1$ deberíamos tener $z^n+2z+1$ . De hecho, tomando $f(z)=z^n$ y $g(z)=z^n+2z+1$ tenemos $|f(z)-g(z)|<|f(z)|$ en la frontera $|z|=1+{2\over n-1}$ porque la diferencia es $|2z+1|$ y está limitada por $3+{4\over n-1}$ en el círculo $|z|=1+{2\over n-1}$ mientras que para tales $z$ : $$|z|^n=(1+{2\over n-1})^n>1+{2n\over n-1}+{n\choose 2}{4\over (n-1)^2}>3+{2n\over n-1}\geq 3+{4\over n-1}$$ y aquí también podemos utilizar $n\geq 2$ . Así que se aplica el teorema de Rouche.

Esto tiene cierto sentido porque por la referencia señalada por el OP sabemos que $z^n+z+1$ no tiene raíces fuera del disco $|z|\leq 1+{1\over n-1}$ Así que parece una buena variación para poner $2$ en lugar de $1$ tanto en el radio como en el coeficiente de $z$ . Esto, por supuesto, nos lleva a preguntarnos si tal vez $z^n+kz+1$ no tiene raíces fuera del círculo $|z|=1+{k\over n-1}$ . Hay buenas razones para creerlo, porque aplicando el argumento del teorema de Rouche anterior para $k$ se atará $|f-g|$ en el límite del círculo por la cantidad $k+1+{k^2\over n-1}$ mientras que el valor de $z^n$ en ese límite, a saber $(1+{k\over n-1})^n$ nos recuerda a $e^k$ que debería ser mayor que una expresión polinómica en $k$ . Un problema interesante, pero aparentemente solucionable. Puede que intente completar los detalles más tarde.