Que la ley de la lógica de la equivalencia dice $P\Leftrightarrow Q ≡ (P\lor Q) \Rightarrow(P\land Q)$

Question

Voy a través de los ejercicios en el libro de Matemática Discreta con Aplicaciones. Estoy hecho para mostrar que dos circuitos son equivalentes mediante la conversión a boolean expresiones y el uso de las leyes en esta tabla.

$$\begin{array}{lcc} \hphantom{1}\mathsf{1.\; Commutative\; laws:} & p\land q \equiv q\land p & p\lor q \equiv q\lor p\\ \hphantom{1}\mathsf{2.\; Associative\; laws:} & (p\land q)\land r \equiv p\land (q\land r) & (p\lor q)\lor r \equiv p\lor (q\lor r)\\ \hphantom{1}\mathsf{3.\; Distributive\; laws:} & p\land (q\lor r) \equiv (p\land q)\lor (p\land r) & p\lor (q\land r) \equiv (p\lor q)\land (p\land r)\\ \hphantom{1}\mathsf{4.\; Identity\; laws:} & p\land t \equiv p & p\lor c \equiv p\\ \hphantom{1}\mathsf{5.\; Negation\; laws:} & p\lor \lnot p \equiv t & p\land \lnot p \equiv c\\ \hphantom{1}\mathsf{6.\; Double\; negative\; law:} & \lnot(\lnot p) \equiv p &\\ \hphantom{1}\mathsf{7.\; Idempotent\; laws:} & p\land p \equiv p & p\lor p \equiv p\\ \hphantom{1}\mathsf{8.\; Universal\; bound\; laws:} & p\lor t \equiv t & p\land c\equiv c\\ \hphantom{1}\mathsf{9.\; De\; Morgan}\text{'}\mathsf{s\; laws:} & \lnot(p\land q) \equiv \lnot p\lor \lnot q & \lnot(p\lor q) \equiv \lnot p\land\lnot q\\ \mathsf{10.\; Absorption\; laws:} & p\lor (p\land q) \equiv p & p\land (p\lor q) \equiv p\\ \mathsf{11.\; Negations\; of\; t\; and\; c:} & \lnot t \equiv c & \lnot c \equiv t\\ \end{array}$$

así como que la ley/s lógica de la equivalencia dice $P\Leftrightarrow Q ≡ (P\lor Q) \Rightarrow(P\land Q)$

Puedo ver su equivalencia claramente con una tabla de verdad. Pero el libro me está pidiendo que me muestran que el uso de la equivalencia de las leyes en la tabla de arriba, y yo no puedo ver cómo alguno de ellos se aplican aquí. Así que, ¿alguna de esas leyes se aplican aquí en una forma que yo no estoy entendiendo? O hay algún otro conocido de la ley que no se aplica aquí?

Answer 1

Supongamos las siguientes definiciones:

$\begin{array}{lc} \mathsf{12.\; Definition \; of \; Implication:} & p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q \\ \mathsf{13.\; Definition \; of \; Biconditional:} & p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \end{array}$

Entonces tenemos: $$\begin{array}{rll} P \Leftrightarrow Q &\equiv (P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P) &\text{by (13)} \\ &\equiv (\neg P \lor Q) \land (\neg Q \lor P) &\text{by (12)} \\ &\equiv (\neg P \land (\neg Q \lor P)) \lor (Q \land (\neg Q \lor P)) &\text{by (3)} \\ &\equiv ((\neg P \land \neg Q) \lor (\neg P \land P)) \lor ((Q \land \neg Q) \lor (Q \land P)) &\text{by (3)} \\ &\equiv ((\neg P \land \neg Q) \lor (P \land \neg P)) \lor ((Q \land \neg Q) \lor (P \land Q)) &\text{by (1)} \\ &\equiv ((\neg P \land \neg Q) \lor c) \lor (c \lor (P \land Q)) &\text{by (5)} \\ &\equiv ((\neg P \land \neg Q) \lor c) \lor ((P \land Q) \lor c) &\text{by (1)} \\ &\equiv (\neg P \land \neg Q) \lor (P \land Q) &\text{by (4)} \\ &\equiv \neg (P \lor Q) \lor (P \land Q) &\text{by (9)} \\ &\equiv (P \lor Q) \Rightarrow (P \land Q) &\text{by (12)} \\ \end{array}$$

Answer 2

La tabla de verdad consiste en "t" y "c" en todo. Así, usted puede volver a escribir la tabla de verdad mediante la negación de las leyes. Es decir, en lugar de utilizar "t" y "c" en su tabla de verdad, el uso de (x∨x), y (x $\land$ $\lnot$x), respectivamente. Entonces, ya que tendrás (x∨x) a lo largo de la última columna de la tabla de verdad, se utiliza la ley de equivalencia (x∨x)=t en una columna adicional, y así se ha mostrado la fórmula verdadera equivalencia de las leyes... específicamente en sus dos últimas columnas se parecerá a esto:

(x∨¬x)  t (by the equivalence law (x∨¬x)==t)   
(x∨¬x)  t (by the equivalence law (x∨¬x)==t)
(x∨¬x)  t (by the equivalence law (x∨¬x)==t)
(x∨¬x)  t (by the equivalence law (x∨¬x)==t)