Deje $A$ ser una matriz de tamaño $p\times p$ donde $2\le p$. El uso de relaciones de recurrencia, describa $A^k$.

Question

Deje $A$ ser una matriz de tamaño $p\times p$ Donde $2\le p$. La matriz de valores en la diagonal principal son $0$ y el resto se $1$'s.

Ejemplo de $A$ donde $p=5$: $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

El uso de reccurences relaciones, describir $A^k$.

Answer 1

SUGERENCIA: Calcular un par de poderes de tales matrices rápidamente sugiere que $A^k$ siempre tiene solo dos entradas, una que aparecen en la diagonal, y los otros que aparecen fuera de la diagonal. Usted puede tratar de demostrar esto a través de la inducción: la inducción de paso, si funciona, es probable que decirle lo que las recurrencias son en realidad.

Vamos a la $(i,j)$-entrada de $A^k$$a_{ij}^k$, y supongamos que $a_{ii}^k=b_k$ $i=1,\dots,n$ $a_{ij}^k=c_k$ al $i\ne j$. Entonces

$$a_{ii}^{k+1}=\sum_{j=1}^{i-1}c_k+\sum_{j=i+1}^nc_k=(n-1)c_k\;;$$

por qué? Esto es independiente de la $i$, de modo que todas las entradas de la diagonal de a $A^{k+1}$ son igual a $b_{k+1}(n-1)c_k$. A ver si se puede terminar por el trato con los elementos de la diagonal.

Answer 2

Deje $B$ ser la matriz con todas las entradas igual a $1$. A continuación,$B^n=p^{n-1}B$$n\geq1$. Tenemos $A=B-I$. Así $$ A^n=(B-I)^n=(-1)^nI+\sum_{k=1}^n\,{n\elegir k}\,B^k\,(-1)^{n-k}=(-1)^nI+\sum_{k=1}^n\,{n\elegir k}\,p^{k-1}B\,(-1)^{n-k}\\ =(-1)^nI+B\,\sum_{k=1}^n\,{n\elegir k}\,p^{k-1}\,(-1)^{n-k}=(-1)^nI+B\,\frac1p\,\sum_{k=1}^n\,{n\elegir k}\,p^{k}\,(-1)^{n-k}\\ =(-1)^nI+B\,\frac1p\,[(p-1)^n-(-1)^n]. $$ Usando ese $B=A+I$, obtenemos $$ A^n=(-1)^nI+\frac1p\,[(p-1)^n-(-1)^n]\,(A+I). $$