Mutuo Singularidad de las Operaciones en el PA de los modelos

Question

Consideremos el primer orden de teoría de la aritmética de Peano (de ahora en adelante PA) formulado en el vocabulario con sólo $+$ (por adición) y $\cdot$ (para la multiplicación). Este vocabulario de restricción no es importante en absoluto, ya $0$, sucesor $S$, y la orden de $\leq$ pueden ser definidos mediante el uso de primer orden de las fórmulas.

Tengo curiosidad de saber lo que se sabe acerca de la dependencia, en modelos no estándar, de cada una de estas operaciones básicas con respecto a las demás. Para ser más precisos, estoy interesado en la conocida respuesta a las siguientes dos preguntas:

1. Hay dos diferentes (es decir, no isomorfos) PA los modelos con el mismo universo, y la misma interpretación de la multiplicación?

2. Hay dos diferentes (es decir, no isomorfos) PA los modelos con el mismo universo, y la misma interpretación de la suma?

Answer 1

El siguiente estrechamente relacionados, los resultados pueden ser de su interés.

$1.$ El isomorfismo tipo de la multiplicativo semigroup de un modelo de PA determina, hasta el isomorfismo, el aditivo semigroup de la modelo. Esto no es sorprendente, ya que se puede definir una relación $R(y,x)$ que se comporta como $y=2^x$.

$2.$ Contables de los modelos de PA, el isomorfismo tipo de aditivo semigroup determina el tipo de isomorfismo de la multiplicativo semigroup.

Los dos bastante antiguo resultados son debido a Ehrenfeucht.

$3.$ De innumerables modelos de PA, el isomorfismo tipo de aditivo semigrop no determina el tipo de isomorfismo de la multiplicativo semigroup.

La información se puede encontrar en este documento por Kossak, Nadel, y Schmerl, que por desgracia no parece estar disponible libremente.