Suma de cubos de primeros números de n fibonacci

Question

Que $\{f_k\}$ sea la secuencia de números de fibonacci. Es bien sabido que $\sum_{k=1}^n f_k=f_{n+2}-1$ y $\sum_{k=1}^n f_k^2=f_n f_{n+1}$. ¿Hay una fórmula para $\sum_{k=1}^n f_k^3$?

Answer 1

$$ F_n = \frac {1} {\sqrt {5}} (\phi^n-\phi^ {-n}) \\ \sum_{k=1}^n F_k^3=\frac{1}{5\sqrt{5}}\sum_{k=1}^n(\phi^{3k}-3\phi^k+3\phi^{-k}-\phi^{-3k})
y luego usar la serie geométrica

Answer 2

Cualquier momento que usted tiene una pregunta como esta, debe comenzar calculando los pocos primeros términos de la secuencia y luego comprobar con el OEIS. En este caso, los dados de $1,1,2,3,5$ son $1,1,8,27,125$, a $1,2,10,37,162$, que es A005968. Allí encontrará una respuesta a la pregunta.

Answer 3

Tenemos la identidad $$\sum_{k=1}^n f_k ^ 3 = \frac {f_ {3n +4} +6 (-1) ^ nf_ {n-1} +5} {10},$$ % todos $n\ge 0$. Para más detalles ver contando las sumas de cubos de los números Fibonacci.

Answer 4

Usted podría intentar jugar con un par de identidades de Cassini (como relaciones de repetición aquí):

$$\begin{eqnarray} F_{3n+1} &=& F_{n+1}^3 + 3 F_{n+1}F_n^2 - F_n^3 \\ F_{3n+2} &=& F_{n+1}^3 + 3 F_{n+1}^2F_n + F_n^3 \\ \end{eqnarray}$$