Prueba $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 = 0$ no tiene solución racional

Question

Prueba $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 = 0$ no tiene solución racional

Quiero demostrarlo por medio de una prueba por contradicción, pero no estoy seguro de cómo proceder con la prueba.

Answer 1

Por el teorema de la raíz racional las únicas soluciones posibles serían $1$ y $-1$ . Evalúa para ambos y concluye que no son raíces.

Answer 2

Suponga que tiene una solución $x = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son relativamente primos (por lo que la fracción se reduce. Enchufe $x$ en la ecuación y luego multiplicar ambos lados por $q^5$ para despejar las fracciones. Se obtiene una ecuación que permite concluir que una de $p$ o $q$ debe dividir al otro, lo que usted asumió que no era el caso, por lo que tiene una contradicción..

Answer 3

Creo que la solución de Jorge Fernández es la más eficaz.

Así que, aquí vamos por una exageración. Ya que $p(x)$ se divide como: $$ (x^2+x-1)(x^3-x-1)$$ en $\mathbb{F}_3$ no tiene una raíz racional.