Demostrar que $$\sum_{1\le i<j<k\le n}x_{i}x_{j}x_{k}(x_{i}+x_{j}+x_{k})\le\dfrac{1}{27}?$$
sobre todo $ n -$ tuplas $ (x_1, \ldots, x_n),$ satisfaciendo $ x_i \geq 0$ y $ \sum_{i=1}^{n} x_i =1.$
Conjeturo :let $p\in N^{+}$ $$\sum_{1\le m_{1}<m_{2}<\cdots<m_{p}\le n}x_{m_{1}}x_{m_{2}}\cdots x_{m_{p}}(x_{m_{1}}+x_{m_{2}}+\cdots+x_{m_{p}})\le\dfrac{1}{p^p}?$$ Probé con C-S, pero sin éxito.
$$\sum_{1\le i<j<x_{k}\le n}x_{i}x_{j}x_{k}(x_{i}+x_{j}+x_{k})=\dfrac{1}{6}\sum_{i,j,k=1}^{n}x^2_{i}x_{j}x_{k}-\sum_{i=1}^{n}x^4_{i}??$$
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No he pensado del todo en esto, pero así es como yo enfocaría el problema. Supongamos que $x_1\geq x_2\geq \ldots \geq x_n$ y que $l$ sea tal que $l$ es mayor y $x_l>0$ . Si $l>p$ , entonces la secuencia $\left(y_1,y_2,\ldots,y_n\right)$ dado por $y_i:=x_i$ para todos $i=1,2,\ldots,l-2$ , $y_{l-1}:=x_{l-1}+x_l$ y $y_j=0$ para $j\geq l$ satisface $$\sum_{1\leq m_1<\ldots<m_p\leq n}\sum_{i=1}^px_{m_i}\,\prod_{j=1}^px_{m_j}\leq \sum_{1\leq m_1<\ldots<m_p\leq n}\sum_{i=1}^py_{m_i}\,\prod_{j=1}^py_{m_j}\,.$$ Así que, si esto funciona, sólo hay que probar cuando $n=p$ (por ejemplo, por AM-GM).
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A menos que haya cometido algún error, su conjetura inicial ( $p=3$ ) es equivocado para $4 \le n \le 9$ (elegir $x_1=\ldots=x_n=1/n$ ).