Tengo problemas para entender esto. ¿Hay alguna forma de probarlo?
Aunque esto no es una prueba, creo que es la respuesta más intuitiva.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Si no estás en el mercado para una prueba completa:
$$a^n=a\times a\times a\times a...\times a$$ $$n!=1\times 2\times 3\times 4...\times n$$
Ahora bien, lo que sucede como $n$ es mucho mayor que $a$ ? En este caso, cuando $n$ es enorme, $a$ habrá estado cerca de algún número bastante temprano en la secuencia factorial. La secuencia exponencial se sigue multiplicando por ese número (relativamente pequeño) en cada paso, mientras que $n!$ se multiplica por $n$ . Así que incluso si $n!$ empieza siendo pequeño, con el tiempo empezará a multiplicarse por gigantesco números en cada paso, y superan rápidamente la exponencial. Si $a=10$ y $n=100$ entonces $a^n$ tiene alrededor de $100$ dígitos, mientras que $n!$ tiene más de $150$ dígitos. Tenga en cuenta que cerca de $n=100$ , $n!$ está teniendo aproximadamente 2 dígitos añadidos por paso (y esa tasa sólo aumentará), mientras que $a^n$ sólo va a conseguir uno más con cada paso. No hay competencia.
@Benoit: Lo único que hay que hacer para que sea una prueba es dividir ambos números en dos partes: el producto del primero a y el producto de todo lo demás, dando como resultado [para n>a] (a!)(n-a)! y (a^a)(a^(n-a)). n! es mayor que a^n siempre que (n-a)!/(a^(n-a)) sea mayor que (a^a)/(a!). La última expresión es constante, y la primera es siempre al menos ((a+1)/a)^(n-a)), que claramente crecerá hasta ser mayor que cualquier límite finito.
Otra intuición es que $n! = 1\times 2\times\ldots\times n$ es un "primo" de $n^n = n\times n\times\ldots\times n$ .
da Boss
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@Pacerier pues entonces podemos decir: " $a$ es fijo. $n$ se hace más grande. Will $n+1$ eventualmente crecen más que $a$ ? Dado que la relación es positiva, pero también $<1$ una vez $n+1>a$ , entonces como $n$ Si se incrementa más, ¿hacia qué número tenderá la proporción?" Muchas preguntas, pero sencillas en cualquier caso. La respuesta a la última pregunta también es intuitiva.
user56747
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1
Una forma intuitiva de ver esto es considerar que estás tratando de mostrar $$a^n < n!$$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . Si se toma el logaritmo de ambos lados, se obtiene $$n\log(a) = \log(a^n) < \log(n!) = \sum_{i = 1}^n\log(i).$$ Ahora, al aumentar $n$ sólo se añade $\log(a)$ a la izquierda, pero el $\log(n + 1)$ que se añade a la derecha puede ser arbitrariamente grande como $n$ se hace grande. Esto se puede hacer riguroso, pero creo que es intuitivamente claro que eventualmente se hace lo suficientemente grande como para compensar la diferencia y ser mayor que $n\log(a)$ .
Dependiendo de lo que el PO quiera decir con "crecer más rápido", es posible que quieran demostrar que, para cualquier $a$ y $c$ , $ca^n < n!$ para un tamaño suficientemente grande $n$ (que, en particular, implica que $\lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ para todos los positivos $a$ ). Por supuesto, la prueba es básicamente la misma, incluso con el factor extra de $c$ en el frente.
Soy un pequeño un poco escéptico de una prueba "intuitiva" que comienza con "Tome logaritmos" :P
Nick Downton
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Para explicarlo con más precisión, $n!$ crece muy rápido cuando se compara con una potencia $n$ . Porque el número mayor se multiplica con el producto cada vez: $$(n+1)!=1 \cdot 2 \cdots n \cdot (n+1).$$ Pero en el caso de la función exponencial, $$a^{n+1} = a \cdot a \cdots a,$$ el término $a$ se mantiene constante.
Louis
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Pues bien, ver que los factoriales crecen mucho más rápido que los exponenciales se puede hacer con un argumento muy sencillo, mientras que demostrar la aproximación de Stirling es una tarea bastante ardua.
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Relacionado: math.stackexchange.com/questions/136626/ - En particular, demuestro que $(2k^2)! > k^{2k^2}$ para cualquier $k$ .
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Consulte el capítulo " $\pi$ es irracional" en el Cálculo de Spivak; ofrece una pequeña y clara prueba de que $\frac{a^n}{n!} < \epsilon $ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . En mi copia de la 3ª edición está en la página 308.
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Por debajo de n=4, la exponencial crece más rápido. Por encima de n=4 el factorial crece más rápido.
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¡¡que gran pregunta!! Me gustó
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Vea mi respuesta aquí para una prueba: stackoverflow.com/a/55301991/1519409
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Así que este tipo hizo una pregunta sin absolutamente ningún detalle y tiene 106 upvotes. Pero cuando hago una pregunta con toda la información relevante pero le faltan algunas cosas, entonces todo el mundo vota por eliminar y casi me da un millón de downvotes.(OMG, sólo se da cuenta de que la pregunta es de hace 8 años, pero la comunidad ingeniosa sólo cerró esta pregunta hace 3 años).
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@Vicrobot, realmente encantador.