La Constante Teorema de la Función primera de todas las $\,$?

Question

Cito Thomas W. Tucker $\,$ "... Por cierto, yo en vista de la Constante Teorema de la Función ya que incluso los más básicos que el IFT. Sería bueno utilizar como un teórico de la piedra angular, pero no sé de ninguna manera a utilizar para obtener el IFT. ... " $\,$ $\,$ Replanteamiento de Rigor en el Cálculo: El Papel del Valor medio Teorema - La American Mathematical Monthly, Vol. 104, Nº 3 (Mar., 1997), página 233 $ \,$ donde IFT significa Aumentar Teorema de la Función.
Para mayor comodidad:
El aumento de la función de $f$ significa que $\,$si $c \lt d$,$f(c) \le f(d)$;
IFT:$\;$ si $f'(x) \ge 0$$[a,b]$, $f$ es el aumento en $[a,b]$;
CFT:$\,$ si $f'(x)=0$$[a,b]$, $f$ es constante en $[a,b]$.

Es que es imposible conseguir el IFT de la CFT ?

Answer 1

Sería bueno tener una declaración clara de lo que significa "obtener del CFT a IFT". En la mayoría de los estándares sentido de la implicación lógica, tenemos dos enunciados verdaderos $A$$B$, por lo que la instrucción "$A \implies B$" es cierto. Pero seguramente algo más trivial observación que se quiere decir.

Una buena manera de interpretar las declaraciones de este tipo se desarrolla en Jim Propp el artículo de Análisis Real en sentido Inverso. Es decir, ambas afirmaciones son significativas cuando se aplica a un arbitrario ordenó campo, por lo que uno puede explorar la clase de ordenada campos en los que los sostienen. Resulta que muchos, pero no todos, de la interesante teoremas de cálculo implica la Dedekind integridad de la orden de campo, por lo que sólo se mantenga en los números reales. Ese es el caso aquí, ya que se trata de Propp del artículo: una brecha en un orden de campo conduce a un localmente constante de la función, que no es constante, por lo CFT implica Dedekind integridad (de ahí lo hace IFT).

¿El argumento anterior, es decir, mostrando que el CFT implica Dedekind integridad y, a continuación, dar, decir, la prueba usual de la Media del Teorema del Valor y, a continuación, la deducción IFT -- cuentan como "obtención de CFT a IFT"? Yo diría que no. Pero luego, como he señalado anteriormente, es menos clara de lo que este "obtención de" negocio realmente significa.

Tenga en cuenta que exactamente este problema viene en $\S 5.1$ de esta nota de la mina real de inducción, en el cual me sugieren un lugar inadecuado significado para la equivalencia de teoremas como esta diciendo que cada uno "implica inmediatamente" a la otra...lo que sea que eso significa!

Answer 2

IFT para CFT: considere el $f(x)$ $g(x) := -f(x)$ s.t. $f(x)$ es diferenciable... (el estándar set-up). Ahora, $f'(x) \ge 0$, $g'(x) \le 0$, por lo $f$ está aumentando, y $g$ está disminuyendo. (All that jazz^ para demostrar que tenemos la disminución de las funciones si $g'(x) \ge 0$) Ahora, si $h(x)$ también diferenciable y así sucesivamente, $h'(x) = 0$, tenemos

$h'(x) = 0 \implies h'(x) \ge 0 \implies h \text{ is increasing}$, yo.e, $h(x) \ge h(y)$ si $x>y$

$h'(x) = 0 \implies h'(x) \le 0 \implies h \text{ is decreasing}$, es decir, $h(x)\le h(y)$ si $x>y$

así que si $x>y$, poniendo ambas desigualdades juntos: $h(x) = h(y)$ (nota: esto es para todos los $x$$y$), por lo $h$ debe ser constante ya que es igual a un valor constante $h(x)$ para todos los valores de $x$.

Sé que esta no es la más rigurosa de la respuesta, pero usted puede completar los detalles.