Hallar el rango de $m$$x^2+mx+6$.

Question

Encontrar el rango de valores de $m$ en la ecuación cuadrática $x^2+mx+6=0$ de manera tal que las raíces de la ecuación de $\alpha,\beta<1$.

Mi intento es dado

$\alpha<1$ $\beta<1$

$\rightarrow \alpha+\beta<2$

Pero $\alpha+\beta=-m$

Por lo tanto $m>-2$.

Pero esta solución no implica que el coeficiente de plazo, es decir,$6$.

Cualquier solución a la pregunta anterior es apreciado.

Answer 1

Usted hizo una falacia lógica tan viejo como el tiempo.

Lo que han demostrado es:

Si $\alpha, \beta<1$, $m>-2$

Lo que NO he PROBADO es:

Si $m>-2$,$\alpha, \beta < 1$.

Usted puede ver fácilmente que la segunda afirmación es falsa, ya que si $m=0>-2$, la ecuación no tiene soluciones reales.

Answer 2

Este es un paso a paso la descripción de cómo iba a hacerlo. No podría ser más inteligentes maneras de salir de allí, y podría haber problemas imprevistos con este enfoque, pero es la primera cosa que me gustaría probar:

1. Escribir una fórmula explícita para $\alpha$ $\beta$ (se debe utilizar tanto el coeficiente constante $6$ y el lineal coeficiente de $m$)
2. Decidir cual de $\alpha$ $\beta$ es el más grande
3. Establecer que la raíz a ser menos de $1$
4. Resolver

Answer 3

Como se puede ver de problemas para $x$, se puede empezar desde el sistema $$\begin {cases} y=mx \\ \\ y=-x^2-6 \end {cases}$$ studying the intersections of a generic line passing through the origin ($m$ es sólo en su vertiente) con un (fijo) de la parábola.

Después de la comprobación de las líneas de tangencia con $m=\pm \sqrt {24}$ y la línea que pasa a través del punto de $(1,-7)$, es fácil deducir que las raíces están a menos de $1$ por cada (y único) $m \ge \sqrt {24}$ .

Answer 4

Encontrar el rango de valores de $m$ en la ecuación cuadrática $x^2+mx+6=0$ de manera tal que las raíces de la ecuación de $\alpha,\beta<1$.

Nuestro gráfico tiene sus alas hacia arriba. Cuando las dos raíces son menos de uno, dos alas de la función gráfica del transecto, el eje OX a la izquierda del punto de $x=1$.

En el fin de asegurarse de que tanto la transección puntos están a la izquierda de $x=1$, lo que necesitamos saber:

1. Existen dos puntos de la transección: por lo tanto, $D>0$
   (Si $D=0$, habrá un solo punto de corte transversal, lo que significa que sólo una de las raíces; si $D<0$ existe ningún transección puntos: sin raíces).
2. Si trazamos una línea vertical desde $x=1$, la huelga de la gráfica sobre el eje OX: por lo tanto, $f(1)>0$
   (De hecho, si se golpea la siguiente gráfica, el eje OX, lo que significa que el punto de $x=1$ se encuentra entre los dos raíces)
3. Pero lo que si va a la huelga de la izquierda del ala de la gráfica, no es la correcta? ¿Y si todo el proceso se encuentra a la derecha de $x=1$? Con el fin de excluir esta posibilidad, digamos que el punto más bajo de la gráfica debe también estar a la izquierda de $x=1$. Por lo tanto, $x_0<1$. La fórmula para $x_0$ $x_0=\frac{-B}{2A}$

Luego me iba a unir a estas tres condiciones en un sistema y resolverlo.

Answer 5

Sólo uso el pq-fórmula:
$$x_{1/2} = -\frac{m}{2} \pm \sqrt{\frac{m^2}{4}-6}$$ desde que nos ca deducir:
1) $m^2 \geq 24$, ya que el radiante bajo la raíz no puede ser negativo
2) $$-\frac{m}{2} \pm \sqrt{\frac{m^2}{4}-6} < 1$$ acaba de resolver y que tiene su rango