¿Es todo morfismo de anillo de Adams un morfismo de anillo lambda?

Question

Un anillo lambda $R$ se denomina "especial" si satisface la $\lambda^i\left(xy\right)=...$ y $\lambda^i\left(\lambda^j\left(x\right)\right)=...$ o, lo que es lo mismo, si el mapa $\lambda_T:R\to\Lambda\left(R\right)$ dado por $\lambda_T\left(x\right)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\lambda^i\left(x\right)T^i$ (donde el $\sum$ significa la adición en $R\left[\left[T\right]\right]$ , no la adición en $\Lambda\left(R\right)$ ) es un morfismo de anillos lambda. Si te preguntas de qué demonios estoy hablando, lo más probable es que pertenezcas a la escuela de algebristas que sólo denotan anillos lambda especiales como anillos lambda en absoluto.

De todos modos, dejemos $A$ y $B$ sean dos anillos lambda especiales, y para cada $i>0$ , dejemos que $\Psi_A^i$ y $\Psi_B^i$ sea el $i$ -a las operaciones de Adams en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $f:A\to B$ sea un homomorfismo de anillo tal que $f\circ\Psi_A^i=\Psi_B^i\circ f$ por cada $i>0$ . ¿Esto produce que $f$ es un homomorfismo de anillo lambda, es decir, que $f\circ\lambda_A^i=\lambda_B^i\circ f$ por cada $i>0$ ?

Tenga en cuenta que esto está claro si ambos $A$ y $B$ están libres de torsión como grupos aditivos (es decir, ninguno de los elementos $1$ , $2$ , $3$ ... es un divisor de cero en cualquiera de los anillos $A$ y $B$ ), pero Hazewinkel, en su texto Vectores Witt, parte 1 (Lemma 16.35), afirma el mismo resultado para el caso general. Estoy escribiendo una lista de erratas para su texto, y me gustaría saber si esto debería incluirse - bueno, y me gustaría saber la respuesta de todos modos, ya que estoy escribiendo algunas notas sobre lambda-anillos también.

En aras de la exhaustividad, he aquí una definición de las operaciones de Adams: Estos son los mapas $\Psi^i:R\to R$ para cada número entero $i>0$ (donde $R$ es un anillo lambda especial) definido por la ecuación

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \Psi^i\left(x\right)T^i = -T\frac{d}{dT}\log\left(\lambda_{-T}\left(x\right)\right)$ en el ring $R\left[\left[T\right]\right]$ por cada $x\in R$ .

Aquí, aunque el término $\log\left(\lambda_{-T}\left(x\right)\right)$ puede no tener sentido (ya que algunas de las fracciones $\frac{1}{1}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ... puede no existir en $R$ ), la derivada logarítmica $\frac{d}{dT}\log\left(\lambda_{-T}\left(x\right)\right)$ se define formalmente por

$\displaystyle \frac{d}{dT}\log\left(\lambda_{-T}\left(x\right)\right)=\frac{\frac{d}{dT}\lambda_{-T}\left(x\right)}{\lambda_{-T}\left(x\right)}$ .

Answer 1

I piense en el siguiente da un contraejemplo.

En primer lugar, hay dos estructuras de anillo de Adams en el anillo polinómico truncado $Z[x]/(x^2)$ . Sea $A'=Z[x]/(x^2)$ con las operaciones de Adams definidas por $\Psi_{A'}^m(x)=mx$ para todos $m\geq1$ . Sea $B'=Z[x]/(x^2)$ con las operaciones de Adams definidas por $\Psi_{B'}^m(x)=mx$ si $m$ es impar, y $\Psi_{B'}^m(x)=0$ si $m$ está en paz. Como $A'$ y $B'$ son libres de torsión, el criterio de congruencia de Wilkerson dice que $A'$ y $B'$ ambos admiten estructuras de anillo lambda únicas y compatibles con las operaciones de Adams dadas (es decir, ambos satisfacen $\Psi^p(x)\equiv x^p$ modulo $p$ ).

Si no me equivoco, esto da $$ \lambda_{T,A'}(x) = 1 +xT-xT^2+xT^3-xT^4+\cdots $$ $$ \lambda_{T,B'}(x) = 1 +xT + xT^3+ xT^5+\cdots $$

Ahora dejemos que $A=A'/(2x)$ y $B=B'/(2x)$ como anillos, por lo que ambos son isomorfos como anillos a $Z[x]/(x^2,2x)$ . Es evidente que las estructuras anulares de Adams descienden a $A$ y $B$ y existe un isomorfismo $f: A\to B$ de los anillos de Adams. Si podemos demostrar que el $\lambda$ -estructuras anulares en $A'$ y $B'$ bajar a $A$ y $B$ entonces está claro que $f$ no es un morfismo de $\lambda$ -anillos.

Es cierto que $A$ es un $\lambda$ -(por ejemplo, es isomorfo a $K^0RP^2$ el complejo $K$ -teoría del plano proyectivo real). Creo que $B$ también es un $\lambda$ -anillo; debería bastar con comprobar que $\lambda_{T,B'}(u)\equiv \lambda_{T,B'}(u+2k\\,x)$ modulo $(2x)$ para todos $u\in B'$ y los enteros $k$ De ahí que $\lambda_{T,B'}$ desciende a una función bien definida en $B$ . Desde $\lambda_{T,B'}(2x)=(1+x(T+T^3+T^5+\cdots))^2 = 1+2x(T+T^3+T^5+\cdots)$ Parece que este es el caso.

Answer 2

Aquí hay un punto de vista más general sobre el ejemplo de Charles, que alguien podría encontrar útil.

Dejemos que $M$ sea un grupo abeliano, y sea $\mathrm{Z}[M]$ denotan $\mathrm{Z}\oplus M$ con la estructura habitual de anillo dividido $(a,m)(a',m')=(aa',am'+a'm)$ . Hay una simple descripción del (especial) $\lambda$ -en dichos anillos. Para cualquier número primo $p$ , dejemos que $\theta_p$ denotan la función simétrica $(\psi_p-e^p)/p$ , donde $e=x_1+x_2+\cdots$ y $\psi_p=x_1^p+x_2^p+\cdots$ . Observe que $\theta_p$ tiene coeficientes integrales y, por tanto, define una operación natural sobre cualquier $\lambda$ -y para cualquier elemento $x$ en cualquier $\lambda$ -anillo, tenemos $\psi_p(x)=x^p+p\theta_p(x)$ . En particular, para cualquier $\lambda$ -estructura en $\mathrm{Z}[M]$ La operación Adams $\psi_p$ satisface $\psi_p(m)=p\theta_p(m)$ para todos $m\in M$ .

Ejercicio: Dada una familia conmutativa de mapas aditivos $\theta_p:M\to M$ hay un único $\lambda$ -estructura anular en $\mathrm{Z}[M]$ cuyo $\theta_p$ operadores en $M$ son las dadas. A la inversa, supongamos que $\mathrm{Z}[M]$ tiene un $\lambda$ -Estructura de anillo. Entonces cada $\theta_p$ preserva el ideal $M$ y el mapa resultante $\theta_p:M\to M$ es aditivo.

Ahora bien, es un hecho general que un mapa de anillos entre dos $\lambda$ -rings es un $\lambda$ -si y sólo si conmuta con el $\theta_p$ operadores. (Esto se debe a que tales funciones simétricas y todas sus composiciones bajo pletina generan todo el anillo de funciones simétricas). Así, en nuestro caso, a $\lambda$ -mapa de anillos $\mathrm{Z}[M]\to\mathrm{Z}[N]$ es lo mismo que un mapa lineal $M\to N$ que conmuta con cada $\theta_p$ . Pero eso no es lo mismo que ir al trabajo con cada $p\theta_p$ es decir, las operaciones de Adams, y es fácil hacer contraejemplos. Por ejemplo, el contraejemplo de Charles es con $M=N=\mathrm{Z}/2\mathrm{Z}$ , donde $\theta_p$ en $M$ es la identidad de todos los $p$ pero $\theta_p$ en $N$ es la identidad de todo impar $p$ pero es cero para $p=2$ . El mapa de identidad $M\to N$ por lo que se conmuta con cada $p\theta_p$ y también un mapa de Adams. Conmuta con cada $\theta_p$ con $p$ impar, pero no conmuta con $\theta_2$ . Por lo tanto, no es un $\lambda$ -mapa.