Definir $f(x) = mx+b, \forall x$ y fijos constantes $m$$b$. Demostrar que la función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua.

Question

Todavía tengo problemas con estos epsilon delta pruebas. Hemos de recoger $\frac{\epsilon}{m}$? He conseguido esta tomando el abs valor de $f(x)-f(y)$ y luego dividiendo por $m$.

Answer 1

Fijar un $\epsilon>0$ ahora tenemos que encontrar una $\delta>0$ que trabaja para tales $\epsilon>0$ y $\delta>0$ nunca cambia.

Hacemos las cosas de fondo $$|f(x) - f(y)| = |m(x - y)| < \epsilon \iff|x - y| < \frac{\epsilon}{|m|}. $$ Now pick $\delta := \frac{\epsilon}{|m|}$ y verificar que esto realmente funciona.

Aquí está la obra: $$|x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)|=|m||(x - y)|<|m|\delta=|m|(\epsilon/|m|)=\epsilon,$$ y listo !

Answer 2

Bien, vamos a ver:

Elija cualquiera de los $x \in \mathbb{R}$, y obtenemos:

$$|f(x) - f(x \pm \varepsilon/m)| = |mx + b - mx \pm \varepsilon - b| = |\pm \varepsilon| = \varepsilon $$

Y así como se desee, si estamos dentro de $\delta = \varepsilon/m$ distancia en las entradas, entonces vamos a estar dentro de $\varepsilon$ distancia en las salidas. Por supuesto, el $\delta$ no está sacado de un sombrero. Parece que tenía la idea correcta en la búsqueda, y usted podrá encontrar más detalles al respecto en Karim post.

Ya está bueno para ir.

Answer 3

Una más de "principios" para demostrar esto podría ser observar que:

• $f(x) = x$ es uniformemente continua;

• $f(x) = c$ es uniformemente continua para cualquier constante $c$;

• Si $f(x)$ es uniformemente continua y $c$ es una constante, entonces $c f(x)$ es uniformemente continua;

• Si $f(x)$ $g(x)$ son uniformemente continua, entonces $f(x) + g(x)$ es uniformemente continua.

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Si alguien está interesado, podemos probar también este uso no estándar de análisis:

De Wikipedia, tenemos que mostrar que para hyperreal números de $x,y$ si $x \approx y$,$f(x) \approx f(y)$. Así que vamos a $y = x + \epsilon$ $\epsilon$ infinitesimal, y hemos \begin{align*} f(y) - f(x) &= f(x + \epsilon) - f(x) \\ &= \big[m(x + \epsilon)\big] + b - \big[mx + b\big] \\ &= m\epsilon \\ &\approx 0, \end{align*} desde $\epsilon$ es infinitesimal y $m$ es finito.

Answer 4

Quieres arreglar $\epsilon $, de modo que $$|f(c)-f(d)|=|m(c-d)| < \epsilon $$

Al $|c-d| < \delta$ fijos $\delta$. A continuación, puede utilizar $|c-d|<....$