Convergencia uniforme en la unión de los intervalos de

Question

Deje $a<c<b$, y supongamos $\{f_n(x)\}$ es uniformemente convergente en $[a,c]$ y en $[c,b]$. Mostrar que es uniformemente convergente en $[a,b]$.

Traté de usar el hecho de que $d_n=\sup|f_n(x)-f(x)|$ tiende a $0$ $n\to\infty$ al $x$ varia $[a,c]$, y también cuando se varía a lo largo del $[c,b]$. Esto nos da que al$x$$[a,b]$, luego
$$ \sup|f_n(x)-f(x)| < \max(\sup|f_n(x)-f(x)|: x\in [a,c], \sup|f_n(x)-f(x)|:x \en [c,b]),$$ which tends to $0$.

Answer 1

El hecho clave aquí es que si $u_n \to 0$$v_n \to 0$,$\max(u_n,v_n) \to 0$. Esto se desprende de la continuidad de la función $(x,y) \mapsto \max(x,y)$.

Vamos $u_n = \sup_{x \in [a,b]} |f_n(x)-f(x)|$, $v_n = \sup_{x \in [b,c]} |f_n(x)-f(x)|$. Desde $u_n \to 0, v_n \to 0$, tenemos $\max(u_n,v_n) \to 0$, y desde $\max(u_n,v_n) = \sup_{x \in [a,c]} |f_n(x)-f(x)|$, se tiene el resultado deseado.

Answer 2

Deje $\epsilon >0$. Para nuestro primer intervalo de $[a,c]$ Elegir un $N_1$ tal que para todos los $n\geq N_1$ tenemos, $$\sup_{x\in [a,c]}|f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$

Ahora escoge una $N_2$ de manera tal que en el intervalo de $[c,b]$ tenemos siempre $n\geq N_2$ tenemos, $$\sup_{x\in [c,b]} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$

Ahora coger $N=\max\{N_1,N_2\}$. A continuación, para todos los $n\geq N$ tenemos,

$$\sup_{x\in [a,b]} |f_n(x)-f(x)| <\epsilon $$ en todo el intervalo de $[a,b]$.