Ecuación de Euler-Lagrange para sistemas continuos

Question

Estoy teniendo un poco de problemas con envolver mi cabeza alrededor de una parte de un método que es bastante "nuevo" en algunas modas para mí. Me imagino que debe ser bastante obvio, pero no estoy viendo algo en el momento.

Vamos a tomar el Lagrangiano de densidad se

$$\mathcal{ L}={1\over{2}}\left(\mu\dot{\phi}^2-Y(\partial_x\phi)^2\right),$$

donde $\mu$ es la densidad de masa de la barra y los $Y$ es el módulo de Young.

Uno "debe" ser capaz de poner esto en la ecuación

$${\partial\over \partial t}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_t \phi)}}\right)+{\partial\over \partial x}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_x \phi)}}\right)={\partial \mathcal{L}\over{\partial \phi}}$$

para obtener la ecuación de movimiento de la varilla $$\mu\ddot\phi=Y\partial_{xx}\phi,$$ a la derecha?

El problema es que yo no soy exactamente viendo a dónde ir con el lado izquierdo de la E-L ecuación aplicada a $\mathcal L$ en el momento. Estoy esperando que alguien sería tan amable como para demostrar que en un par de líneas.

Answer 1

Cuando se hace la teoría de campo, trabajamos con una densidad Lagrangiana en lugar de una de Lagrange: $$S=\int dt L,\hspace{.5cm} L=\int d^3x \mathcal{L}\longrightarrow S=\int d^4x \mathcal{L}$$ La correspondiente Euler-Lagrange las ecuaciones son fácilmente derivarse de una manera exactamente análoga a la derivación de Euler-Lagrange las ecuaciones, por ejemplo, en la mecánica clásica. El resultado es: $$\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_\mu \phi)}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$$ donde he definido $$\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu},\hspace{1cm}x^\mu=(t,x,y,z)$$ y se utiliza el convenio de sumación de Einstein. El punto es que el $L$'s en su segunda ecuación debería ser $\mathcal{L}$'s.

Answer 2

Comentario a la pregunta (v6): Para la teoría del campo en 1+1 dimensiones, la densidad Lagrangiana

$$\tag{1} {\cal L}\left(\phi(x,t), \partial_t\phi(x,t),\partial_x\phi(x,t), x,t\right)$$ depende de 5 argumentos

$$\tag{2} \phi(x,t),~ \partial_t\phi(x,t),~\partial_x\phi(x,t),~ x,~t,$$

si se excluyen las teorías con mayor derivados.

Cabe destacar que el exterior de diferenciaciones en el correspondiente Euler-Lagrange las ecuaciones

$$\etiqueta{3} \frac{d}{d t}\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_t \phi)} +\frac{d}{d x}\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_x \phi)} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi}$$

implican el total de los derivados

$$\tag{4}\frac{d}{d t}~=~\frac{\partial}{\partial t}+ \partial_t\phi~\frac{\partial}{\partial \phi}+\partial^2_t \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_t \phi)}+\partial_t\partial_x \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_x \phi)}$$

y

$$\tag{5}\frac{d}{d x}~=~\frac{\partial}{\partial x}+ \partial_x\phi~\frac{\partial}{\partial \phi}+\partial^2_x \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_x \phi)}+\partial_x\partial_t \phi~\frac{\partial}{\partial(\partial_t \phi)}$$

en lugar de la parcial y explícitosderivados $$\tag{6} \frac{\partial}{\partial t} \quad\text{and}\quad \frac{\partial}{\partial x} .$$

Esto se desprende de la derivación de Euler-Lagrange las ecuaciones mediante el principio de acción estacionaria, cf. por ejemplo, Ref. 1.

Por último, cabe mencionar que muchos autores confusamente compuso el exterior diferenciaciones de Euler-Lagrange las ecuaciones (3) como en derivadas parciales (6). Esta notación no cambia el hecho de que debe ser entendido como el total de los derivados.

Referencias:

1. Herbert Goldstein, de la Mecánica Clásica;el último capítulo.

Answer 3

Supongo que lo que están pidiendo aquí es más operativo, la pregunta en lugar de un concepto en cuestión. Tenga en cuenta que $\phi$ depende de $x$$t$, es decir,$\phi = \phi(x,t)$, y que con dos variables$t$$x = x(t)$:

$D_t = \partial_t + \partial_x \dot{x}$

Usted puede, a continuación, expanda el $\dot{\phi}^2(x,t)$ plazo en

$\dot{\phi}^2(x,t) = (\partial_t \phi)^2 + 2 (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi)^2 \dot{x}^2$

Ahora, volviendo a la densidad Lagrangiana $\mathcal{L} = \frac{1}{2} [\mu \dot{\phi}^2(x,t) - Y\partial_x \phi(x,t)]$. Tenga en cuenta que las derivadas parciales opera en explícita la dependencia de las variables en cuestión. Como un ejemplo, me deja hacer el primer término de la ecuación EL aquí:

$\begin{align*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_t \phi)} &= \frac{1}{2} \mu \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} [(\partial_t \phi)^2 + 2 (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi)^2\dot{x}^2] + \frac{1}{2} Y \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2\\ &=\frac{1}{2} \mu [\frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_t \phi)^2 + 2\frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_t \phi) (\partial_x \phi) \dot{x} + \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2 \dot{x}^2] + 0 \\ &=\frac{1}{2} \mu [2 (\partial_t \phi) + 2(\partial_x \phi) \dot{x} + 0]\\ &=\mu [(\partial_t \phi) + (\partial_x \phi) \dot{x}] \end{align*} $

Hasta ahora, el punto aquí es que usted debe tratar a $\partial_t \phi$ es una variable explícitas, y aplicar las derivadas parciales como lo haría normalmente como $x$ o $t$. El plazo $\frac{1}{2} Y \frac{\partial}{\partial (\partial_t \phi)} (\partial_x \phi)^2$ en la primera línea, por ejemplo, se evalúa a ser cero, por que no hay dependencia de la $\partial_t \phi$.

Usted puede detener en esta etapa y llevar a valorar el derivado $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_x \phi)}$ primero, y usted debe ceder algo como $\mu [(\partial_t \phi) \dot{x} + (\partial_x \phi) \dot{x}^2] - Y \partial_x \phi$. Y desde el Lagrangiano de la densidad no depende de la $\phi$, $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0$. (Trate de calcular usted mismo! Puedo estar equivocado aquí :p)

La combinación de lo que usted tiene, usted debería ser capaz de obtener el la ecuación:

$\partial_t \mu [\partial_t \phi + (\partial_x \phi) \dot{x}] + \partial_x \mu [\partial_t \phi + (\partial_x \phi) \dot{x}] \dot{x} - Y \partial_{xx} \phi = 0 $

El tercer término es, obviamente, el lado derecho de la ecuación que usted necesita para probar. Lo que quizás es desordenado es el primero de los dos términos, pero usted debería referirse a la primera ecuación que hemos mencionado anteriormente, es decir,$D_t = \partial_t + \partial_x \dot{x}$; con esto, es bastante sencillo demostrar que

$\mu[\partial_t \dot{\phi} + (\partial_x \dot{\phi}) \dot{x}] = Y \partial_{xx} \phi$

Hacer la simplificación, una vez más, y obtenemos la ecuación que usted necesita para probar :)

Answer 4

Así que usted le ha dado la Langrangian Densidad ser:

$$\mathcal{ L}={1\over{2}}\left(\mu\dot{\phi}^2-Y(\partial_x\phi)^2\right),$$

De Euler-Lagrange ecuación es :

$${\partial\over \partial t}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial\dot{\phi}}}\right)+{\partial\over \partial x}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_x \phi)}}\right)={\partial \mathcal{L}\over{\partial \phi}}$$

Así que por el de su primera ecuación $\partial \mathcal{L}\over{\partial\dot{\phi}}$ = $2$ x $1\over2$x $ \mu\dot\phi$

A continuación, se procederá a tomar el tiempo derivado de esto que es $\mu\ddot\phi$.

Sigue los mismos pasos para obtener el ${\partial\over \partial x}\left({\partial \mathcal{L}\over{\partial(\partial_x \phi)}}\right)$

tomando nota de que ${\partial \mathcal{L}\over{\partial \phi}} = 0$ ya que no hay $\phi$ dependencia en su Densidad Lagrangiana.

También hay que tener en cuenta que$\partial_x\phi$$\partial\phi\over \partial x$. Esperemos que su más claro de cómo las ecuaciones de movimiento son obtenidas de ahora.

Answer 5

Lo imaginé... Debe ser evidente que la función de $\phi$ es otros análogos para la coordiate x para la distribución continua. Y $\dot{\phi}$ También debe ser evidente que este es un no-relativista del sistema. Pero... una cosa a tener en cuenta es que si el tiempo fueron tratados como una coordenada habría ecuación de la cuenta, y un additionian función de $\psi$, lo que equivaldría a t. A su vez derivado de la no-relativista límite es de otros análogos a 1. Voy a mostrar por qué es útil en la solución.

Comenzar por evaluar el resultado de conectar $\dot\phi^2$ en el lado izquierdo de la E-L en una forma dada.

1)${\partial\over\partial x}{\partial (\dot\phi\dot\phi)\over{\partial(\partial_x\phi)}}\rightarrow2{\partial\over\partial x}\dot\phi{\partial (\dot\phi\partial_x\phi+"1"\partial_t\phi)\over{\partial(\partial_x\phi)}}$ donde $\dot\phi="v"\cdot\nabla\phi$ ha sido utilizado y $"v"\leftrightarrow (\dot{\psi},\dot{phi})$ $\dot{\psi}\rightarrow 1$ en no-relativista límite.

así que la primera parte da $2{\partial_x\dot{\phi}}\dot{\phi}$

2)hacemos analgous análisis de la $"\partial_t"$ parte que da $2\partial_t\dot{\psi}\dot{phi}$

3) la suma de las partes 1 un 2 para obtener $2(\partial_t\dot{\psi}\dot{\phi}+{\partial_x\dot{\phi}}\dot{\phi})$ que tomar la $\partial_t$ $\partial_x$ operadores que conmutan con a$\dot\psi$$\dot{\phi}$, respectivamente, es el mismo que $2"v"\cdot\nabla \phi\rightarrow 2\ddot{\phi}$

4) a partir De estas consideraciones es evidente que la conexión de la ${1\over{2}}\mu\dot\phi^2$ parte de la densidad de $\mathcal{L}$ en la L-H-S de la E-L ecuación proporciona el plazo $\mu\ddot{\phi}$ de la final de la ecuación de movimiento.