Integral de la $\int \frac{dx}{\sin^2 (x) + \sin(2x)}$

Question

Tenemos que hacer la siguiente integración $$\int \frac{dx}{\sin^2 (x) + \sin(2x)}$$

He intentado como

En el numerador, $1 = \sin^2(x)+\sin(2x)+\cos^2(x)-\sin(2x)$

Pero ahora, ¿cómo proceder?

Answer 1

\begin{align} \int\frac{dx}{\sin^2(x)+\sin(2x)}&=\int\frac{\sec^2(x)}{\sin^2(x)\sec^2(x)+2\sin(x)\cos(x)\sec^2(x)}dx\\ &=\int\frac{\sec^2(x)}{\tan^2(x)+2\tan(x)}dx \end{align}

Dejando $u:=\tan(x)$, $du=\sec^2(x)dx$ da

\begin{align} \int\frac{dx}{\sin^2(x)+\sin(2x)}&=\int\frac{du}{u^2+2u}\\ &=\int\frac{du}{(u+1)^2-1} \end{align}

Dejando $z:=u+1$, $dz = du$ da

\begin{align} \int\frac{dx}{\sin^2(x)+\sin(2x)}&=\int\frac{dz}{z^2-1}\\ &=-\text{artanh }(z)+C\\ &=-\text{artanh }(u+1)+C\\ \end{align}

Revertir el final de la sustitución da

$$\int\frac{dx}{\sin^2(x)+\sin(2x)} = -\text{artanh }(\tan(x)+1)+C$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\dfrac1{\sin^2x+\sin2x}=\dfrac{\sec^2x}{\tan^2x+2\tan x}$$

Answer 3

Podemos transformar nuestra integral como: $$I =\int \frac {1}{\sin^2 x +\sin 2x} dx =\int -(\frac {-1}{2\cot x+1})\mathrm {cosec}^2 x dx $$ Using $v=\cot x $, esto puede ser fácilmente resuelto. Espero que ayude.

Answer 4

Utilice primero el hecho de que $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ obtener $$\int \frac{1}{\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin(x)}dx$$ Divide el numerador y el denominador por $\sin^2(x)$: $$\int \frac{\frac{1}{\sin^2(x)}}{1 + 2\frac{\cos(x)}{\sin(x)}} = \int \frac{\csc^2(x)}{1 + 2\cot(x)}dx$$ A continuación, puede utilizar la sustitución $u = 2\cot(x)+1$; $du = -2\csc(x)dx$: $$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du = -\frac{\ln(u)}{2}+c$$ Y el sustituto de la $u$ $2\cot(x)+1$ nuevo.