Límite que implican coeficiente binomial

Question

Yo estaba tratando de encontrar el por debajo del límite. La suma puede ser escrito en una función hipergeométrica, pero no parece que me ayude a encontrar el límite.

Cualquier ayuda será apreciada.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left. \left( \frac{n}{n-1} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^n \sum_{i=1}^n {\binom{n}{i} \cdot \frac{i-1}{i}} \right. $$

Gracias.

Answer 1

$$\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\frac{i-1}{i} = 2^n-1-\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\frac{1}{i}$$ y: $$\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\frac{1}{i}&=&\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\int_{0}^{1}x^{i-1}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{(1+x)^n-1}{x}\,dx\\&=&\int_{0}^{1}\frac{(2-x)^n-1}{1-x}\,dx=\sum_{j=0}^{n-1}\int_{0}^{1}(2-x)^j\,dx\\&=&\sum_{j=0}^{n-1}\frac{2^{j+1}-1}{j+1}=\sum_{i=1}^{n}\frac{2^i-1}{i}=\sum_{i=1}^{n}\frac{2^i}{i}-H_n \end{eqnarray*}$$ de modo que su límite es: $$ \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^2\cdot\left(1-\frac{H_n+1}{2^n}-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(n-i) 2^{i}}\right)=\color{red}{1}$$ desde: $$ \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(n-i)2^i}\leq\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(n-i)(1+i)}=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{i+1}+\frac{1}{n-i}\right)=\frac{2H_n}{n+1}.$$

Answer 2

Definir $$ \begin{align} S_n &=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac1k\\ &=\sum_{k=1}^n\left[\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\right]\frac1k\\ &=\frac1n\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}+S_{n-1}\\ &=\frac{2^n-1}n+S_{n-1} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac1k=\sum_{k=1}^n\frac{2^k-1}k $$ Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}\sum_{k=1}^n\frac1k &\le\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2^n}\\ &=0 \end{align} $$ y Dominado por la Convergencia $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}\sum_{k=1}^n\frac{2^k}k &=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2^{n-k}}{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}2^{-k}+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k\,2^{-k}}{n-k}\\[6pt] &=2+0 \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\left(1-\frac1k\right) &=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^n}-\frac2n\right)\\ &=1 \end{align} $$