Convergencia uniforme de la Serie de Fourier

Question

Actualmente estoy estudiando el Análisis de Fourier en el mío propio. En las Notas yo uso el siguiente comentario es de hecho, que yo por desgracia no entiendo:

Dado que sabemos que la serie

$f(x) = \sum c_k e^{ikx}$

converge pointwise (donde el $c_k$ son los coeficientes de Fourier y $f$ es una función periódica), para mostrar la convergencia uniforme es suficiente para demostrar que

$ \sum |c_k| < \infty $

He tratado de encontrar el resultado respecto a la convergencia uniforme que este comentario se refiere a pero que hasta ahora no fue un éxito.

Podría alguien ayudarme a mí y a dar una pista de por qué esto es cierto ? Muchas gracias!

Answer 1

Esto es sólo una aplicación de la Weierstrass M-test.

Es un lugar simple, y es edificante para demostrar la convergencia uniforme de la serie directamente:

Deje $m> n$, luego $$ \biggl| \sum_{j=1}^m c_j e^{ijx} - \sum_{j=1}^n c_j e^{ijx} \biggr| =\biggl| \sum_{j=n+1}^m c_j e^{ijx} \biggr| \le \sum_{j=n+1}^m |c_j e^{ijx} |= \sum_{j=n+1}^m |c_j |. $$ Desde $\sum\limits_{j=1}^\infty |c_j|<\infty$, podemos hacer que el lado derecho de la anterior tan pequeño como se desee siempre $n$ es lo suficientemente grande. Por lo tanto, podemos hacer que la mano izquierda tan pequeño como se quiera, independientemente de $x$, mientras $n$ es lo suficientemente grande.

De ello se desprende que $ \sum\limits_{j=1}^\infty c_j e^{ijx} $ es uniformemente de Cauchy y, por lo tanto, uniformemente convergente.