Lógicamente deducir lo que la mayor $0.8^{10}$ o $0.81^9$?

Question

Edit: me escribió inicialmente la pregunta al revés Tengo una pregunta hace poco, lo más grande $0.8^9$ o $0.81^{10}$, no tiene que calcular el número exacto obviamente, simplemente averiguar qué es más grande. No estoy realmente seguro de cómo proceder, lógicamente. He intentado configurar como un divsion pregunta.

$0.8^{10}/0.81^9$, si la respuesta es mayor que 1 sé que el numerador es mayor. Puedo reescribir esto como : $$\frac{(8/10)^{10}}{(8.1/10)^9} = \frac{8^{10} *10^9}{8.1^9 *10^{10}} = \frac{8^{10}}{8.1^9 * 10} $$

Más allá de eso, no veo cómo obtener la respuesta sin usar una calculadora o haciendo algo tedioso de matemáticas, tengo la sensación de que debe ser un enfoque lógico.

Edit: me imaginé que fuera por volver a escribir .81 como (.8*1.012), que luego se anula el numerador. ¿Alguien tiene un método diferente?

Answer 1

$$\frac{.8^{10}}{.81^9} = \left(\frac{80}{81}\right)^9(0.8)$$

Ambos factores son más pequeños de lo $1$, por lo que el producto es claramente menor que $1$. Si hay un error tipográfico, y el numerador se supone que un menor potencia que el denominador, entonces este es todavía un decente enfoque.

Answer 2

Re lulu comentario, supongo que la pregunta es en lugar de pedir $.8^9$ frente al $.81^{10}$. A continuación, puede hacer algo similar para llegar a

$$10 \cdot 8^9 \text{ vs. } 8.1^9$$

Multiplicar por $10^9$ tenemos

$$10^{10} \cdot 8^9 \text{ vs. } 9^{18}$$

Ciertamente,$10^{10} > 9^{10}$, por lo que es suficiente para mostrar que el $8^9 > 9^8$, es decir, que $8^{1/8} > 9^{1/9}$, lo cual es cierto ya que $x^{1/x}$ es la disminución en el $x>e$. (Esto puede ser una exageración, bienvenidos a una solución más fácil)

Answer 3

Hemos visto muchas formas de mostrar $0.8^{10}<0.81^9$, pero como se señaló, mostrando el $0.8^9>0.81^{10}$ es un poco más difícil. Un poco más simple que la de MCT es $$\frac{0.8^{9}}{0.81^{10}}=\frac{1}{0.81}\cdot (1-1/81)^9\ge\frac{1}{0.81}\cdot(1-9/81)>1$$ donde la última desigualdad es bastante fácil de mostrar. También tenga en cuenta que utilizamos $(1-x)^n\ge 1-xn$ que es una consecuencia directa del teorema del binomio.