Mostrar que $E(x)=M'_X(0)$, donde $M'_X(p)=\frac{dM_X(p)}{dp}$

Question

Yo estoy pasando por algo más de la práctica de un examen de preguntas para las estadísticas de mi clase - Aquí está la pregunta completa, que consta de dos partes:

Deje $X$ ser una variable aleatoria continua con la conocida función de densidad de probabilidad (pdf) $f_X(x)$ $-\infty < x < \infty$ y deje $M_X(p)=E(e^{pX}) $ ser una verdadera función con valores de $p.$

(a) Escriba $M_X(p)$ como una integral que involucra el pdf $f_X(x)$ $e^{pX}.$

(b) Mostrar que el $E(x)=M'_X(0)$ donde $M'_X(p)=\frac{dM_X(p)}{dp}.$

Aquí es lo que tengo hasta ahora:

(yo), Parece bastante sencillo a partir de la definición de $E(g(x))$. Simplemente tengo:

$$E(e^{pX}) = \int^{p}_{-\infty}e^{pX}f_X(x) dx.$$

(b) Para la parte b, estoy un poco atascado. A partir de (a), tengo que

$$M'_X(p)=\frac{d}{dp} M_X(p)=\frac{d}{dp}E(e^{pX})=\frac{d}{dp}\int^{p}_{-\infty}e^{pX}f_X(x) dx.$$

Hay un teorema similar a la del teorema fundamental del cálculo para tomar la derivada de una integral impropia?

La forma en que me han tratado de evaluar esto es:

$$\frac{d}{dp}\left( \lim_{b \to -\infty}\int^{p}_{b}e^{pX}f_X(x) dx\right).$$

Ahora estoy un poco atascado. Sé que la definición de $E(x) = \int^{\infty}_{-\infty}xf_X(x)dx$, pero cuando trato de integrar la anterior integral impropia no creo que estoy llegando a ningún lado, pero lo que es más complicado. Estoy aún en la pista de la derecha? Me siento como que me estoy haciendo más complicado de lo que se supone debe ser.

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

$$ (1) \quad M_X(t) = \mathrm{E}\left[e^{tX}\right] = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\,dx \quad $$ $$ (2) \quad M'_X(t) = \frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{d}{dt} e^{tx} f_X(x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty x\,e^{tx} f_X(x)\,dx $$ $$ M'_X(0) = \int_{-\infty}^\infty x\,f_X(x)\,dx = \mathrm{E}[X] $$

Razones: La segunda igualdad en (1) es debido a que el teorema conocido folklorically como la Ley de la Inconsciente Estadístico; (2) la derivación bajo el signo integral se justifica por el Teorema de Convergencia Dominada.

Answer 2

Tienes un error:

$$Ee^{pX}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{px}f_X(x)dx$$

Nota los límites de integración, que les había equivocado. De esta manera se puede diferenciar en integral. Por supuesto que hay condiciones, cuando se puede hacer esto exactamente, pero se puede asumir que se cumplan.

El hecho de que se están integrando a más infinito de intervalos es una complicación, pero aún así, todo depende de las propiedades de $exp$$f_X$. I. e. mientras la integral es función derivable y algunas otras propiedades de suavidad (probablemente), se pueden diferenciar dentro de la integral.