evaluar lim: $\lim _{x\to \infty }\left(2x\left(e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)\right)$

Question

Estaba tratando de resolver el límite anterior y parece que estoy obteniendo resultados mixtos. He utilizado el hecho de que: $\lim _{x\to \infty }\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$

Y después de eso intentando con la regla de L'Hospital pero no me llevó mucho más lejos.

Answer 1

SUGERENCIA: reescriba el término en la forma $$\frac{e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}{\frac{1}{2x}}$$ y aplicar las reglas de L'Hospital

Answer 2

Con algo de trabajo, la regla de l'Hopital resuelve el problema.

La parte difícil es la derivada de $x\mapsto\left(1+\frac1x\right)^x$ . Para ello, escriba $$y=\left(1+\frac1x\right)^x$$ $$\ln y=x\ln\left(1+\frac1x\right)$$ Ahora toma derivados: $$\frac{y'}y=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}$$ y por lo tanto $$y'=\left(1+\frac1x\right)^x\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right]$$

Ahora, l'Hopital:

$$\lim_{x\to\infty}2x\left[e-\left(1+\frac1x\right)^x\right]=2\lim_{x\to\infty}x^2\left(1+\frac1x\right)^x\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right]$$

Con más l'Hopital y un poco de paciencia puedes descubrir que

$$\lim_{x\to\infty}x^2\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right]=\frac12$$

Así, el resultado final es $e$ .

Advertencia : Todo esto lo he hecho a mano, por lo que aconsejo volver a comprobar el resultado.

Answer 3

A continuación haré uso de las siguientes aproximaciones de Taylor: Para pequeños $h>0,$ $$\ln (1+h) = h - h^2/2 + O(h^3), e^h = 1 + h +O(h^2).$$

Reescribamos nuestra expresión como $2xe(1-(1+1/x)^x/e).$ Ahora

$$\ln[(1+1/x)^x/e] = x\ln (1+1/x) - 1 = x(1/x - 1/2x^2 + O(1/x^3)) - 1 = -1/2x +O(1/x^2).$$

Al exponer la espalda se obtiene

$$(1+1/x)^x/e = 1-1/2x + O(1/x^2).$$

Así,

$$2xe(1-(1+1/x)^x/e) = 2xe(1/2x + O(1/x^2))=e + O(1/x).$$

Así que el límite es $e.$

Answer 4

Realice la sustitución $x \to 1/x$ . Así,

$$\begin{align} \lim_{x\to \infty}\left(2x\left(e-\left(1+\frac1x\right)^x\right)\right)&=\lim_{x\to 0}2\frac{e-\left(1+x\right)^{1/x}}{x}\\\\ &=-2\lim_{x\to 0}\frac{d\left(1+x\right)^{1/x}}{dx}\\\\ &=-2\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{1/x}\left(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{\log(1+x)}{x^2}\right)\\\\ &=e \end{align}$$

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NOTA:

$$\begin{align} \frac{1}{x(x+1)}-\frac{\log(1+x)}{x^2}&=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{x-\frac12x^2+O(x^3)}{x^2}\\\\ &=\frac{-1}{x+1}+\frac12 +O(x)\\\\ &\to -\frac12 \end{align}$$

como $x\to 0$ .