El número de $(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n$ es un número entero

Question

Demostrar por inducción que este número es un entero:

$$u_n=(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n$$

El progreso

Supuse que no tiene por $n$ y traté de hacerlo por $n+1$, pero el álgebra vuelve muy desordenado y no soy capaz de demostrar que el siguiente término es un entero: $\sqrt{5}((3+\sqrt{5})^n-(3-\sqrt{5})^n)$

Answer 1

Esquema: Para el (fuerte) de la inducción de paso, podemos utilizar el hecho de que $$(3+\sqrt{5})^{n+1}+(3-\sqrt{5})^{n+1}=\left[(3+\sqrt{5})^{n}+(3-\sqrt{5})^{n}\right]\left[(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})\right]-(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})\left[(3+\sqrt{5})^{n-1}+(3-\sqrt{5})^{n-1}\right].$$

Tenga en cuenta que $(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})$ $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$ son enteros.

Observación: no Hay mejor "no-inducción" maneras. Imagine, por ejemplo, la expansión de cada una de las $(3+\sqrt{5})^n$$(3-\sqrt{5})^n$, usando el Teorema del Binomio. Ahora agregue. Los términos impares poderes de $\sqrt{5}$ cancelar.

Answer 2

A partir de la teoría de las secuencias definidas por un lineal de la recurrencia de la relación con coeficientes constantes, la secuencia de $u_n$ satisface $u_{n+2}=6u_{n+1}-4u_n$$u_0=2$$u_1=6$.

Entonces, si se supone que $u_n$ $u_{n+1}$ son enteros, se sigue inmediatamente que $u_{n+2}$ es también un número entero. Usted puede escribir una fuerte inducción de esta para completar la prueba.

Answer 3

Deje $v_n = (3+\sqrt{5})^n - (3-\sqrt{5})^n$, luego $$ u_1 = 6, v_1 = 2\sqrt{5} $$ Y $$ u_{n+1} = (3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^n = 6u_n + \sqrt{5}v_n $$ $$ v_{n+1} = (3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})^n - (3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^n = 6v_n +\sqrt{5}u_n $$ Si $v_n$ es un múltiplo entero de $\sqrt{5}$ $u_n$ es un número entero, entonces $v_{n+1}$ es un múltiplo entero de $\sqrt{5}$ $u_{n+1}$ es un número entero.

Answer 4

Si $n$ es impar entonces para todos los reales $x, y$ tenemos $$(x+y)^{n} + (x-y)^{n} = 2x^n + 2\sum_{j\ \text{odd}}\binom{n}{j}x^{j}y^{n-j};$$ si $n$ es incluso entonces para todos los reales $x, y$ hemos $$(x+y)^{n} + (x-y)^{n} = 2x^n + 2y^n + 2\sum_{j\ \text{even}}\binom{n}{j}x^{j}y^{n-j}.$$ Poner $x := 3$ $y := \sqrt{5}$ termina la prueba, para el irracional términos son todos los cancelados.

Answer 5

Sugerencia $\ $ Por inducción $\,\alpha^n,\,\bar\alpha^{\,n} = j \pm k\sqrt{5}\,$ $\,\color{#c00}{\rm conjugate}\,$ (de modo que su suma $= 2j\in\Bbb Z)$

El paso inductivo es: $\,\ \overline{\alpha^{n+1}} =\, \color{#0a0}{\overline{\alpha\,\alpha^n} =\,\bar\alpha}\,\color{#c00}{\overline{\alpha^n}}\,\desbordado{\color{#c00}{\rm inducir a}}=\bar\alpha\,\color{#c00}{{\bar\alpha}^n} = {\bar\alpha}^{\n+1}\ $ by $\ \color{#0a0}{\overline{xy} = \bar x \bar y}$

Comentario $\ $ por lo tanto vemos que la prueba es un caso especial de la perspectiva de la extensión de la $\color{#0a0}{multiplicativity}$ de conjugación, yo.e$\ \overline{\alpha_1\cdots \alpha_n}\, =\, \overline\alpha_1\cdots \overline\alpha_n,\,$, en especial el poder de casos $\,\alpha_i = \alpha$.