Demostrar que $A \circ B = AB$ si y solo si tanto $A$ como $B$ son diagonales

Question

Definición. Producto de Hadamard. Sea $A,B \in \mathbb{C}^{m \times n}$. El producto de Hadamard de $A$ y $B$ se define como $[A \circ B]_{ij} = [A]_{ij}[B]_{ij}$ para todo $i = 1, \dots, m$, $j = 1, \dots, n$.

Observación. Ver detalles en este artículo de Wikipedia sobre el producto de Hadamard.

En el Capítulo 2 del paper de Million hay la siguiente observación:

Podemos relacionar el producto de Hadamard con la multiplicación de matrices considerando matrices diagonales, ya que $A \circ B = AB$ si y solo si tanto $A$ como $B$ son diagonales.

Entonces hay un teorema que dice que $A \circ B = AB$ si y solo si tanto $A$ como $B$ son diagonales, pero no sé cómo demostrarlo, y no lo encontré en la literatura debido a que no hay muchos libros escritos sobre este tema.

Edición. Probablemente en este teorema $m=n$. Million no escribió al respecto.

Answer 1

El teorema que estás tratando de demostrar no es cierto:

Considera $A = B = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 0\end{array}\right)$.

Answer 2

Prueba: (suponiendo que $n=m$)

($\Rightarrow$) por suposición, $A$ y $B$ son diagonales. Entonces $AB = diag(a_{11}b_{11}, a_{22}b_{22}, \dots, a_{nn}b_{nn})$ y $[A\circ B]_{i,j} = [A]_{i,j} [B]_{i,j}$. Dado que $A$ y $B$ son diagonales, entonces $[A\circ B]_{i,j} = 0$ para todo $i\neq j$, y $[A\circ B]_{i,i} = a_{ii}b_{ii}$ $\Rightarrow$ $[A\circ B]_{i,j} = diag(a_{11}b_{11}, a_{22}b_{22}, \dots, a_{nn}b_{nn})=AB

($\Leftarrow$) (retractado)