Si sabemos que las unidades de una cantidad es válida para escribir una fórmula para que las unidades son dimensionalmente correcta?

Question

Aquí es un ejemplo muy simple:

La definición de un campo eléctrico es $$\vec E = \frac{\text{Force}}{\text{Charge}}=\frac{\vec F}{Q}$$ and it's dimensions are N$\mathrm{C}^{-1}$ (Newtons por Coulomb).

Pero en newtons por coulomb tiene la misma dimensionalidad V$\mathrm{m}^{-1}$ (Voltios por Metro).

Si sólo estamos considerando la magnitud de la cantidad de $\vec E$;

Es válido para escribir $$\fbox{$|\vec E| = \frac{\text{Voltaje}}{\text{Longitud de conductor}}=\frac{V}{\ell}$}\tag{1}$$ ya que las dimensiones son las mismas?

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EDITAR:

Ahora he tenido la oportunidad de leer todas sus respuestas y comentarios, y reconoce que la respuesta general a esta pregunta (en el título) es no.

Gracias a todos los que respondieron, realmente aprecio su tiempo! Las respuestas son maravillosos!

Sin embargo, muchos de ustedes han dicho que es también válido para escribir la ecuación de $(1)$ como yo lo hice en el inicio.

En una de las respuestas @user121330 mencionó que "Usted debe proporcionar el ejemplo, si usted quiere más claridad". También mencioné en un comentario debajo de esta pregunta que iba a "cargar el ejemplo que habló de"; así que aquí está:

Esta es la página 107 de "Física 2 para OCR" por los autores David Cantaba y Gurinder Chadha, publicado por primera vez en 2009 por Cambridge University Press y ha ISBN: 978-0-521-73830-9.

Más información sobre el libro puede encontrarse en su sitio web www.cambridge.org/9780521738309

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Lo que es más importante es que la ecuación de $(1)$ también está siendo utilizado para derivar la Ley de Ohm:

Este fue un pequeño extracto tomado de mi profesor de notas.

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Por lo que hace parecer que el campo eléctrico no puede ser escrito como $$E=-\frac{V}{\ell}$$ or in magnitude as $$E=\frac{V}{\ell}$$ y el libro y mi profesor está equivocado?

Answer 1

Es válido para escribir $$|\vec E| = \frac{\text{Voltage}}{\text{Length of conductor}}=\frac{V}{\ell}$$ ya que las dimensiones son las mismas?

No, porque en lugar de $E=V/\ell$, la respuesta podría fácilmente ser $E=V/2\ell$ o $E=\pi V/\ell$. Es decir, este enfoque puede, en el mejor de dar una respuesta que es ambiguo hasta un universal radio sin unidades de factor.

Eso no significa que la técnica es inútil. Si ya estás convencido de física o matemática razones por las que no debe ser una ecuación de la forma $E=f(V,\ell)$ para algunos la función $f$, entonces esta técnica enormemente reduce las posibilidades, que proporciona un control sobre su resultado cuando usted realmente resolver el problema. En algunos casos, el radio sin unidades de la constante de proporcionalidad puede incluso no ser necesario, por ejemplo, si usted sólo va a utilizar el resultado para formar una relación de igual a $E_1/E_2$ que compara dos casos diferentes.

Answer 2

Es válido para escribir $$|\vec E| = \frac{\text{Voltage}}{\text{Length of conductor}}=\frac{V}{\ell}$$ ya que las dimensiones son las mismas?

No. En parte, $\vert \vec E\vert \ne \frac{V}{\ell}$ en general, sino más bien $\vec E=-\vec\nabla V$, que tiene las mismas unidades de medida $V/\ell$ desde $\vec\nabla=\hat x\frac{\partial }{\partial x}+\hat y\frac{\partial }{\partial y}+\hat z\frac{\partial }{\partial z}$. Otro ejemplo sería $$ v=\frac{dx}{dt}\ne \frac{x}{t} $$
en general.

Además, el análisis dimensional no se proporciona con la correcta proporcionalidad adimensional factores. Así, el volumen de una esfera $v=\frac{4}{3}\pi r^3$ no sólo a $r^3$, que tiene unidades de volumen.

En general, el análisis dimensional puede ayudar a usted a la conclusión de que $v\propto r^3$ o que $V$ es proporcional a $\vec E\vert$ multiplicado por la distancia (en general$V\sim \int \vec E\cdot d \vec\ell$), pero el análisis dimensional no captura de cambios espaciales, tales como $E_x=-\frac{dV}{dx}$ o de las tasas de cambio, así como a $a=\frac{dv}{dt}$.

(ver también aquí)

Answer 3

El actual respuestas tocar algunos puntos importantes, pero siguen estando lejos de un escenario del peor caso.

Para ver esto, considere la posibilidad de que algunas unidades se anulan completamente. Un ejemplo común de esto es la resistencia de la $R$ (unidades de Ohmios) de un alambre como una función de su resistividad $\rho$ (unidades de Ohmios por metro). Basado en las unidades de estas cantidades, se puede esperar que la resistencia de algunos de alambre de longitud $\ell$ por $R = \rho / \ell$, pero este es muy malo. De hecho, la resistencia está dada por $R = \rho \ell / A$ donde $A$ es el cable del área de la sección transversal.

El análisis Dimensional puede a menudo dar una buena intuición para lo que algunas de las posibles soluciones a un problema, podría ser, pero nunca debe ser la única herramienta que se utiliza para llegar a una conclusión.

Answer 4

Probablemente no. Parece que usted ha tropezado con Buckingham-Pi teoría que se deriva del hecho de que uno no puede agregar dos cantidades que tienen diferentes unidades. Este es uno de los más ingenuos maneras de construir un modelo físico, pero tiene alguna utilidad. En el contexto en que te he dado, sería más correcto escribir

$$|\vec E| = k \frac{V}{l} $$

lo que puede reducir a la forma simplificada que usted proporcionó. Esto puede ser una forma válida para iniciar el proceso de construcción de un mundo más robusto modelo, pero si no hay datos experimentales de validar el modelo y sin más aclaraciones, sus conclusiones no vale la pena mucho.

También es posible que el autor es la definición de algunos de los nuevos cantidad. Usted debe proporcionar el ejemplo, si usted quiere más claridad.

Editar

El autor no es simplemente escribir una ecuación que coincide con la de las unidades. En su lugar, se están ahorrando en sí de tener que explicar cálculo o ecuaciones diferenciales. El campo Eléctrico es constante y co-lineal con la resistencia, de modo $V = - \int_C\mathbf E \cdot d\mathbf l = |E| l$.

El hecho lamentable es que su primer paso en cualquier física que sucede antes de que usted tiene las matemáticas para entender. Eso significa que los autores y los profesores tienen que ser inteligente y mover sus manos como loca cada vez que quiero mostrarle algo interesante. Este patrón continuará para toda la física de la carrera.