Cerca de ceros de funciones analíticas

Question

Si una analítica de la función $f(z)$ tiene dos ceros que están muy juntos, hay un cero de $f^\prime(z)$ que está cerca. Esto es claro si $f(z)$ es un polinomio cuadrático, intuitiva y, en general, de la Hadamard producto: $f(z)$ es un polinomio cuadrático veces una función que es casi una constante en el barrio de los ceros.

Cómo riguroso podemos hacer esta afirmación?

Sin pérdida de generalidad, podemos traducir por lo que el origen es el punto medio de los dos ceros, girar de modo que ambos son reales, y dilatar así que los ceros $\pm1$, lo $f(z)=(1-z^2)g(z)$, con (supongo) $g(z)\ne0$$|z|<1$. Por lo tanto $\log(g(z))$ está bien definido en el disco, y podemos escribir $g(z)=\exp(h(z))$ analítico $h(z)$.

Por lo tanto buscamos $z$ (esperemos que en $|z|<1$) que satisface $-2z+(1-z^2)h^\prime(z)=0$.

Edit: Basado en robjohn comentario, necesitamos cuantificar la heurística anterior que el 'resto' de la Hadamard producto es aproximadamente constante cerca de los ceros. Por lo tanto asumir también que $g^\prime(0)$ es "pequeño", donde la solución propuesta a continuación se hace esta precisión.

Answer 1

Edit: he Aquí una solución de limpieza basado en la suposición de que $\log(g(z))$ es aproximadamente constante cerca de los ceros.

Escribir $\log(g(z))=h(z)=h(0)+h^\prime(0)z+h^{\prime\prime}(0)z^2/2+O(z^3)$, y considere la posibilidad de la expansión de la serie de $$ -2z+(1-z^2)h^\prime(z). $$ Hasta los términos que se $O(z^2)$, esto es $$ h^\prime(0)+\left(h^{\prime\prime}(0)-2\right)z. $$ Así descuidar la $O(z^2)$, la expresión es $0$ $$ z=\frac{h'(0)}{2-h"(0)}. $$ Esto es en la unidad de disco para $h^\prime(0)$ suficientemente pequeño, mientras $h^{\prime\prime}(0)$ no está demasiado cerca de $2$.

Pregunta: ¿Qué es el 'significado' de la segunda derivada de $\log(g(z))$ $0$ estar cerca de $2$?