Encontrar un denso incrustación de determinados obligando a poset a cualquier contables obligando a poset

Question

Traté de probar esto en el Kunen de la teoría de conjuntos:

Deje $P$ ser una contables no atómica de orden parcial. Mostrar que existe una densa incrustación de $T = \{p\in\operatorname{Fn}(\omega,\omega) :\operatorname{dom} p\in\omega\}$

En primer lugar he intentado de la siguiente manera: Vamos a $A_0$ ser una máxima antichain en $P$. Desde $P$ no es atómica, $A_0$ es contable. Voy a construir la función $i$$T$$P$. Deje $\{q_k : k<\omega\}$ ser una enumeración de $A_0$, a continuación, defina $i(\{(0,k)\}) = q_k$.

Vamos a suponer que $i(p)$ $\operatorname{dom} p = n$ es dado. Si $A=\{q_k : k<\omega\}$ es una contables máxima antichain se encuentra por debajo de $i(p)$, a continuación, defina $i(p\cup\{(n, k)\}) = q_k$. Se da la orden-la preservación de la función $i$$T$$P$.

Sin embargo, me di cuenta de que mi intento no funciona en algunos casos. Por ejemplo, por encima de la construcción no siempre funciona en el caso $$P = T \cup \{p\in\operatorname{Fn}(\omega+\omega,\omega) : \omega\subset\operatorname{dom} p \in \omega+\omega\>\text{ and }\>\forall n<\omega :p(n)=0\}$$ porque se puede tomar cada antichain apareció en la construcción como subconjunto de $T$. No sé cómo evitar tal problema ni encontrar otra prueba de ello. Yo agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Aquí es una pequeña modificación de su obra que de manera explícita se asegura de que la incrustación de objetos que construimos es densa.

Deje $P=\{p_n;n\in\omega\}$ ser una enumeración de $P$. Construimos la incrustación $i\colon T\to P$ nivel por nivel. En el inicio, mapa de la parte superior de la condición de $T$ a la parte superior de la condición de $P$.

Para definir $i$ en los nodos de la longitud de la $1$ dejamos $A_\emptyset$ ser un infinito máxima antichain en $P$ (tal cosa existe porque $P$ es atomless) de tal forma que algunos $p\in A_\emptyset$ está por debajo de $p_0$. Nosotros, a continuación, enumerar $A_0$ y el mapa de la $k$-ésimo nodo de longitud $1$ $T$ $k$- ésimo elemento de a $A_\emptyset$.

Procediendo por inducción, supongamos que hemos definido $i(s)$ por cada $s\in T$ de la longitud en la mayoría de las $n$ y considere la posibilidad de $s\in T$ de la longitud de la $n$. Para definir $i$ en los inmediatos sucesores de $s$ deje $A_s$ ser un infinito máxima antichain en $P$ bajo $i(s)$ de manera tal que, si $p_n$ es compatible con $i(s)$, algún elemento de $A_s$ está por debajo de $p_n$. Nosotros, a continuación, enumerar $A_s$ y el mapa de los sucesores de $s$ a las condiciones en las $A_s$.

Ahora está claro que la incrustación $i$ es densa; la imagen de cada nivel de $T$ es la máxima antichain en $P$, por lo que cualquier $p_n$ será compatible con alguna condición en la imagen de la $n$-ésimo nivel, lo que significa que la imagen de un nodo en el $(n+1)$-st nivel por debajo de $p_n$.