Tengo una pregunta sobre cómo funciona la fuerza sobre un cuerpo en el marco de la relatividad especial. Hasta donde yo sé, la ecuación de la fuerza en la relatividad especial es:
$$F=m\alpha$$ Donde $\alpha$ es la aceleración adecuada. ¿Implica esto que, si la aceleración propia es constante, la fuerza sobre el cuerpo es siempre constante? Por ejemplo, si la aceleración propia fuera una constante $\mathrm{1\ ms^{-2}}$ y la masa en reposo fuera de 10 kg, la fuerza sería una constante de 10N, independientemente de la velocidad?
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Vivek
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Tienes razón, hay que redefinir la aceleración en la relatividad especial. En la mecánica newtoniana, las definiciones $F=m\ddot{x}$ y $F=\dot{p}$ son equivalentes, donde $p$ es el impulso. Sin embargo, en la relatividad especial, la cantidad $m\dot{x}$ no es tan especial, y en cambio lo que se vuelve importante es $p=m\gamma\dot{x}$ (donde aquí, $m$ se toma siempre como la masa real. El descanso masa).
Así que, una vez que esa redefinición de $p$ se produce, ¡las dos definiciones de fuerza anteriores ya no son equivalentes! La más importante resulta ser $F=\dot{p}$ .
Ahora, con $x$ siendo un vector, podrías preguntarte, "espera un segundo, expandiendo $F=\dot{p}$ Me sale $F=m(\dot{\gamma}\dot{x}+\gamma \ddot{x})$ ¿No es engorroso? Especialmente, en ciertos problemas, con la complicación añadida de transformar $(ct,x)$ vectores entre diferentes marcos de referencia?" Tendrías toda la razón. Mi opinión relativamente desinformada al respecto es que para eso están los tensores, el tiempo adecuado y el desarrollo de la intuición [trabajando con muchos problemas de práctica]. Pero, vale la pena; sobre todo conduce a profundas ideas sobre el magnetismo.
Joe Liversedge
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La fuerza no es realmente un concepto muy útil en la relatividad, pero de todos modos este artículo de WP tiene un breve tratamiento. Tenemos el vector de fuerza cuatro
$$ \textbf{F}=\frac{d\textbf{p}}{d\tau} \qquad ,$$
donde la derivada es con respecto a adecuado tiempo. Esto es lo mismo que el OP's $F=m\alpha$ . La razón por la que tiene que ser con respecto al tiempo propio es que si queremos que el resultado sea un cuatro-vector, tenemos que dividir el cuatro-vector $d\textbf{p}$ por un escalar de Lorentz.
Dado que la derivada es con respecto al tiempo propio, la parte espacial de este cuatro vector de fuerza es la fuerza que mediría un observador inercial que estuviera instantáneamente comoving con el objeto sobre el que se actúa. Es no la trifuerza $\textbf{f}=d\textbf{p}/dt$ que sería medido por un observador en cualquier marco que estemos usando para describir todos estos vectores. La parte espacial de $\textbf{F}$ difiere de $\textbf{f}$ por un factor de $\gamma$ ,
$$\textbf{F}=(\ldots,\gamma \textbf{f}) \qquad .$$
Digamos que la pasajera Amy está en una nave espacial que tiene una aceleración propia constante de $g$ . Está de pie en la cubierta. Un segundo pasajero, Bob, salta de una mesa o algo así, por lo que está en inercia pero instantáneamente como Amy. Como Bob se mueve instantáneamente, su tiempo propio es el mismo que el de Amy, no ve correcciones relativistas, y juzga que la fuerza de las placas de cubierta que actúan sobre los pies de Amy es justo $F=mg$ . Es constante mientras la nave mantenga una aceleración adecuada constante.
Sin embargo, el observador Carl en la Tierra ve que la nave se mueve a velocidades relativistas. En sus coordenadas, $f=F/\gamma=mg/\gamma$ varía
¿Implica esto que, si la aceleración propia es constante, la fuerza sobre el cuerpo es siempre constante?
Así que la respuesta depende del marco de referencia. En el marco de referencia comoving, la fuerza es constante. En un marco inercial fijo, es cambiante.
